НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Тела"

Из теоремы Веддербарна—Артина нетрудно вывести, что кольцо разлагается в конечную прямую сумму тел тогда и только тогда, когда оно артиново слева или справа и не содержит ненулевых нильпотентных элементов.

Кольцо R называется примарным, если фактор-кольцо R/J по его радикалу Джекобсона / изоморфно кольцу матриц над некоторым телом, т.

Линейное пространство над телом оказывается конечномерным тогда и только тогда, когда кольцо его линейных преобразований конечно по Дедекинду.

Если К — тело характеристики 0, то кольцо An(R) просто ([208], п.

Примитивная алгебра А над полем, удовлетворяющая тождеству степени d, изоморфна алгебре Mn(D), где D — тело, причем размерность алгебры А над центром %(D) тела D не превосходит целой.

АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 367ляется как подирямое произведение матриц над телами, причем как размерность матриц, так и размерности тел над их центрами ограничены в совокупности.

При этом Q изоморфна алгебре матриц над телом D, имеющим конечную размерность над своим центром, Q = Л® B(D), а идеалы тождеств алгебр Л и Q совпадают ([13], ч.

Говорят, что тело D удовлетворяет рациональному тождеству 91 = 0, если для любых d\,.

Рациональное тождество называется тривиальным, если ему удовлетворяет любое тело.

, хп) = 0 — нетривиальное рациональное тождество, то найдется такое натуральное число т, что для любого тела D с бесконечным центром 3>(D), удовлетворяющего этому тождеству, имеем dimy(D)D^m (см.

В первую очередь остановимся на вложении колец в тела.

Однако существуют кольца без делителей нуля, не вложимые в тело ([87], с.

Более того, существуют такие кольца, не вложимые в тело, что их мультипликативная полугруппа ненулевых элементов вложима в группу ([14], с.

Этот результат позволяет установить существование обратимых колец, не вложимых в тело ([14], с.

КОЛЬЦА И МОДУЛИ ных, то последнее оказывается телом.

Таким образом, для вложимости кольца R без делителей нуля в тело достаточно, чтобы для любых a, b <= /?

В частности, таким телом частных обладают любое Pi-кольцо без делителей нуля и любая групповая алгебра U>G, где Ф поле, a G — нильпо-тентная группа без кручения ([7], гл.

В тело вкладываются также групповые алгебры упорядоченных групп, групповые алгебры групп без кручения с одним соотношением, кольца /?

Известен критерий вложимости кольца R в тело, связанный с рассмотрением матриц над R (см.

О гомоморфизмах в тело см.

Тела, локальные кольца, регулярные кольца (335).

наибольшего нильпотентного идеала), факторалгебра по которому не содержит нилытотентных идеалов и разлагается в прямую сумму полных матричных алгебр над телами.

Типичнейшие представители композиционных алгебр — это поля вещественных чисел R и комплексных чисел С, тело кватернионов Н и алгебра чисел Кэли (октонионов) О, взятые с евклидовой нормой п (х) = (х, х) = \ х \ 2.

Если каждое из этих уравнений при а=т^0 имеет единственное решение и Л содержит единицу, то А называется телом.

Всякая конечномерная алгебра без делителей нуля является алгеброй с делением, поэтому всякая композиционная алгебра либо расщепляема, либо есть алгебра с делением (и даже тело).

нечных ассоциативных телах, утверждающей, что любое такое тело коммутативно и порождается как

КОЛЬЦА И МОДУЛИ кольцо одним элементом, легко вытекает следующий результат: всякое конечное альтернативное тело ассоциативно (и коммутативно).

изоморфна прямой сумме простых алгебр, каждая из которых либо ассоциативна и является алгеброй матриц над некоторым телом, либо есть алгебра Кэли—Диксона над своим центром ([249], с.

В частности, любое альтернативное тело либо ассоциативно, либо является алгеброй Кэли—Диксона над своим центром.

Л радикал RadЛ нильпотентен; алгебра Л будет полупростой артиновой тогда и только тогда, когда она является конечной прямой суммой полных матричных алгебр над телами и алгебр Кэли—Диксона ([37], теоремы 12.

КОЛЬЦА И МОДУЛИ решается отрицательно уже для ассоциативных алгебр (хотя для тел ответ неизвестен).

характеризуются как прямые суммы простых алгебр одного из видов: R, Vn, Я(К„), Я(С„), Я(Н„), Я(03), где С — поле комплексных чисел, Н — тело кватернионов, О — алгебра чисел Кэли ип^гЗ (Jordan P.

с делением: нужно только в случаях 2) и 3) считать, что А — тело, в случае 1) квадратичная форма f(x, x) не должна представлять квадратов элементов из поля F, а в случае 4) / также должна удовлетворять некоторым дополнительным условиям (см.

Если L конечномерна, то U (L) нётерова справа и слева и обладает правым и левым телами частных ([32], с.

Если М — простой правый [левый] /^-модуль, то End М — тело (лемма Шура — см.

Пусть V — линейное пространство над телом D.

M (напомним, что 5 —тело), х\,.

примитивно справа в том и только том случае, когда оно изоморфно плотному кольцу линейных преобразований некоторого линейного пространства над телом ([90], пп.

Всякий ненулевой правый модуль над телом свободен и все его базы равномощны.

Поле (и даже тело) является неприводимым модулем над самим собой.

Как нётеровыми, так и артиновыми является любое конечное кольцо, а также кольцо матриц над телом.

Кольцо эндоморфизмов абелевой группы является телом тогда и только тогда, когда эта группа изоморфна Q или Z/Zp, где р — простое число.

В первую очередь отметим, что кольцо R оказывается телом, если все правые [левые] ^-модули или все конечно порожденные правые ^-модули свободны.

281, теорема 5), а в прямую сумму тел в том и только том случае, когда в нем нет нильпо-тентных элементов ([1], с.

Тело D называется топологическим телом, если оно является топологическим кольцом и операция а~1 непрерывна, т.

Тело D, являющееся топологическим кольцом, оказывается топологическим телом тогда и только тогда, когда оно обладает такой базой окрестностей нуля So, что для любой We So найдется t/eS0 такая, что (1 -f- и)~1 е 1 + W для всех и е U.

Замыкание подтела топологического тела является топологическим телом.

Ограниченное слева {справа] и, в частности, компактное топологическое тело дискретно ([3], теорема 1.

Пополнение топологического тела D оказывается топологическим телом тогда и только тогда, когда для любого фильтра Коши g на D, где limg=^=0, множе

Существуют топологические тела, пополнение которых содержит делители нуля.

Фильтр gf на топологическом теле называется левым [правым] мультипликативным фильтром Коши, если для любой окрестности U единицы тела D найдется такое подмножество А е 3f, что О ф А и x~ly e U [xy~l ^ U] для всех х, у е А.

Если D — полное топологическое тело, а всякий левый мультипликативный фильтр Коши на D является правым мультипликативным фильтром Коши и наоборот (в частности, если D коммутативно), то всякий мультипликативный фильтр на D имеет предел ([20], п.

Если тело D является недискретным локально компактным топологическим кольцом, то D содержит ненулевые топологически нилыютентные элементы и даже обладает топологически нильпотентной окрестностью нуля ([3], теорема 1.

Кольца матриц над недискретными локально компактными телами и только они являются недискретными простыми кольцами с единицей, обладающими ненулевым левым ядерным идеалом.

Однако существуют недискретные простые локально компактные кольца с единицей и нулевым левым ядерным идеалом, которые, разумеется, не изоморфны кольцам матриц над локально компактными телами (Skornjakov L.

Пусть D — недискретное локально компактное тело.

Тогда имеет место один из следующих трех случаев: 1) D изоморфно полю действительных чисел, или полю комплексных чисел, или телу кватернионов; 2) D — центральная конечномерная алгебра с делением над полем р-адических чисел; 3) D — центральная конечномерная алгебра над полем рядов Лорана с коэффициентами из некоторого поля вычетов по простому модулю ([78], § 27).

Если D — нормированное тело или поле, то его пополнение В также является телом или полем соответственно.

Для псевдонормированных тел и полей это, вообще говоря, не так ([87], с.

Топологическое тело D нормируемо тогда и только тогда, когда множество его топологически нильпотент-ных элементов открыто и ограничено справа, а при умножении топологически нильпотентного или нейтрального элемента на топологически нильпотентный получается топологически нильпотентный элемент ([87], с.

Всякое локально компактное тело нормируемо ([87], с.

Напротив, поля действительных и комплексных чисел и тела кватернионов и чисел Кэли оказываются единственными нормируемыми конечномерными алгебрами над полем R (см.

ассоциативно [коммутативно], то W также ассоциативно [коммутативно]; 3) если R—тело, то W — тело.

Среди классически полупрот стых колец линейно упорядочиваемыми оказываются тела, в которых —1 не может быть представлена как сумма квадратов, и только они.

Такие тела называются формально действительными ([55], с.

Положительный конус Р частично упорядоченного тела D представляется как пересечение положительных конусов, определяющих линейные порядки (в этом случае говорят, что порядок на D является пересечением линейных порядков), в том и только том случае, когда Р содержит все произведения любых квадратов из R (см.

1) R — поле комплексных чисел и (а + РО* = а— Р/; 2) R — тело кватернионов и (а + fh' + yi + + 6ft) * = а — pi — у/ — 6ft; 3) R — кольцо матриц над коммутативным кольцом и Л* получается из матрицы А транспонированием.

Если R — простое кольцо с инволюцией, не совпадающее со своим радикалом Джекобсона, и все следы или все косые следы из R нильпотентны или обратимы, то R оказывается телом или кольцом матриц второго порядка над полем с симплектической инволюцией.

К этому списку добавляется прямая сумма двух антиизоморфных тел с перестановочной инволюцией, если R — полупервичное кольцо с инволюцией, в котором обратимы все ненулевые симметрические элементы или все ненулевые следы.

Если D — тело с инволюцией, Z — его центр, 2D=D и D' — такое подтело тела D, что u*D'u<=D' для любого унитарного и е D (т.

Градуированное по типу G кольцо D назовем градуированным телом, если обратимы все ненулевые однородные элементы.

При этом компонента DO оказывается телом.

Талия 39 Тело 335, 395 — Гильберта 334 — градуированное 560 — кватернионов 335 — топологическое 539 — формально действительное 549 Тензорное произведение 299, 455 Теорема Адо — Ивасавы 430 — Адяна 269 — Адяна — Рабина 269 — Артииа 397 — Еиркгофа 131 — Брауна 258 — Веддсрбарна — Артина 348 — Веддербарна — Мальцева 349 — Вейля 430 — Гамильтона — Кэли 372 — Гашюца 242 — Гёльдера 228 — Гилденхьюза — Крофоллера — Штребеля 257 — Гильберта о базисе 345 ------ о сизигиях 485 — Голди 374 — Голода 148 — Груневальда — Пикеля — Сегала 167 — Груневальда — Сегала 168 — Грушко — Неймана 121 — Жордана — П'льдера 46S — оаЯцева- -Го Эпсона 170

1) Если из г не извлекается корень собственной степени в Fn, то группа G не имеет кручения, групповое кольцо ZG — делителей нуля и, более того, ZG вложимо в тело.

Поле комплексных чисел и тело кватернионов являются алгебрами над полем действительных чисел.

Однако тело кватернионов алгеброй над полем комплексных чисел не является.

Представлениям колец матрицами над телом посвящена монография [251].

К числу простых относятся и все кольца матриц над телами (и, в частности, над полями).

ЕсЛи в ассоциативном кольце Л справедлива импликация ( (2х = 0) =>- (х = 0) ) и существует такое дифференцирование d, что для любого хе; Л элемент d(x) обратим или равен нулю, то Л или тело, или кольцо матриц второго порядка над телом ([68], с.

В кольце матриц второго порядка над телом неразложимым оказывается, например, идемпотент ( V

При этом если М2 =^= О, то подкольцо eRe кольца R оказывается телом.

Простым кольцом является всякое тело, а также кольцо матриц над телом.

КОЛЬЦА И МОДУЛИ с единицей, содержащее минимальный левый [правый] идеал L, изоморфно кольцу матриц над некоторым телом D (см.

При отсутствии единицы R оказывается изоморфным плотному кольцу линейных преобразований конечного ранга над некоторым телом, содержащему хотя бы одно ненулевое преобразование конечного ранга ([30], с.

АССОЦИАТИВНЫЕ КОЛЬЦА 327 цоколем и только они изоморфны плотному кольцу линейных преобразований линейного пространства над телом, содержащему хотя бы одно ненулевое преобразование конечного ранга.

Кольцо с единицей примитивно справа тогда и только тогда, когда оно изоморфно плотному кольцу линейных преобразований линейного пространства над телом.

Если R — тело, то обратимыми оказываются ряды с ненулевым свободным членом и только они, а каждый левый [правый] идеал кольца R [ [х] ] оказывается двусторонним и порождается элементом хт для некоторого натурального т.

Если R — тело, то кольцо рядов Лорана также оказывается телом.

Если R — тело и а(х) — его гомоморфное вложение в себя, то скрученное кольцо рядов Лорана оказывается телом, которое называется телом Гильберта.

] — ,у то центр соответствующего тела Гильберта совпадает с Ф.

Если R — тело, то R [х, а, б] не содержит делителей нуля и является кольцом главных левых и главных правых идеалов ([16], пп.

Тела, локальные кольца, регулярные кольца.

Телом называется кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент обратим.

Поле — это, по определению, коммутативное тело.

Всякое конечное тело коммутативно, т.

Простейший пример тела, не являющегося полем, — это тело кватернионов, которое можно получить, рассмотрев ( а ь\ множество матриц вида ( - над полем комп\ — Ь а )лексных чисел с обычными операциями ([88], с.

Кольцо R с единицей оказывается телом тогда и только тогда, когда в нем нет левых [правых] идеалов, отличных от {0} и R, а также тогда и только тогда, когда в нем нет отличных от {0} и R квазиидеалов.

КОЛЬЦА и МОДУЛИ счетное тело вкладывается в тело, порожденное двумя элементами ([14], теорема 13).

Всякое тело является алгеброй над своим центром, который всегда оказывается полем.

В частности, тело кватернионов — алгебра над полем действительных чисел.

Тело кватернионов содержит и поле комплексных чисел, но алгеброй над ним не является.

Если тело является алгеброй над коммутативным кольцом Ф с единицей, то Ф оказывается полем.

Тело, являющееся алгеброй над полем Ф, часто называют алгеброй с делением.

Конечномерная алгебра над полем, не содержащая делителей нуля, является телом ([31], с.

Всякая конечномерная алгебра с делением над полем действительных чисел изоморфна или полю действительных чисел, или полю комплексных чисел, или телу кватернионов (теорема Фробениуса — см.

Если К—подтело тела D, то D можно считать как правым, так и левым линейным пространством над /С.

Если [D : 3(0)] < °° и Р — максимальное подполе тела D, то D®y(D}P^Mn(P), где n = (D:P} и [ = [0:Я]2 = [Р:3(?

Если К — подтело тела D и и-[Ки^ К для любого ненулевого и е К, то или /С = D, или K^B(D) (теорема Картона—Брауэра—Хуа — см.

Телам посвящены монографии [136], [140] и [249].

называется локальным или вполне при-марным, если оно содержит такой двусторонний идеал /, что R/I является телом.

Простейшим примером локального кольца, не являющегося телом, служит подкольцо кольца Q, состоящее из всех рациональных чисел, знаменатели которых не делятся на фиксированное простое число.

Из локальности группового кольца RG вытекает, что R — локальное кольцо, тело R/J(R) имеет характеристику р, а порядок любого элемента из G является степенью числа р (т.

В частности, регулярным кольцом оказывается любое тело.

Регулярным оказывается кольцо матриц над любым регулярным кольцом и, в частности, над телом ([87], с.

96, теорема 2), а также кольцо всех эндоморфизмов любого линейного пространства над телом.

Отметим также обзор [274] о подкольцах кольца линейных преобразований векторного пространства над телом, сконцентрированный вокруг теоремы плотности и теоремы Голди.

Равносильны следующие свойства регулярного кольца R: (1) R строго регулярно; (2) R не содержит ненулевых нильпотентных элементов; (3) каждый левый [правый] идеал кольца R является двусторонним; (4) все идемпотенты кольца R центральны; (5) для каждого а е R уравнение аха = а имеет единственное решение; (6) для всякого первичного двустороннего идеала Р кольца R факторкольцо R/P оказывается телом ([161], с.

Примерами бэров-ских колец служат кольца эндоморфизмов линейных пространств над телами и кольцо ограниченных операторов гильбертова пространства.

Кольцо называется классически полупростым, если оно изоморфно прямой сумйге конечного числа полных матричных колец над телами.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru