НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Ряд"

52 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

54 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

56 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1ГЛ.

58 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Рядом Фурье какой-нибудь функции / (х) (удовлетворяющей отмеченным в начале параграфа требованиям) относительно ортогональной системы (S) называется ряд коэффициенты которого определяются по формулам (1.

Но из этого не следует, что / (х) должна разлагаться в свой ряд Фурье.

Тригонометрические ряды Фурье являются частным случаем рядов Фурье относительно ортогональных систем функций.

54)1, члены же ряда Фурье не изменятся (^-А,„фп = а„Ф„).

60 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

64 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Ряды Фурье.

2а*^(/> Л' откуда следует, что ряд 2а<« сходится и 1 1 имеет место неравенство Бесселя оо

Ряды с комплексными членами.

66 РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ: ФУГ-ЬЕ [гл.

58'), в частности, видно, что для всякой непрерывной на [—л, я] функции ряд 2(а»+^) (где ап\ и Ъп определяются формулами (1.

Степенные ряды.

59), отвечают разные ряды Фурье.

3* gg РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

59), если (/ — /„, оо / — /п) -*• О- Ряд 2 /п (я), члены которого непрерывны и удовлетворяют (1.

57) видно, что ряд 2ап<рп сходится в среднем к /, если для / соотношение (1.

Из доказанной теоремы следует, что ряды Фурье всех непрерывных функций, удовлетворяющих (1.

Поэтому, если в случае замкнутости (S) ряд Фурье некоторой непрерывной /, удовлетворяющей (1.

Следовательно, если при такой весовой функции ортогональная система замкнута и ряд Фурье некоторой непрерывной функции, удовлетворяющей (1.

Для всякого е ^> 0 найдется такая непрерывная функция ф (х) с периодом 2я, кусочно гладкая на [—я, я], что |/ (х) — ф (х) |< г/2, но Ф (а:) разлагается в равномерно сходящийся ряд Фурье, поэтому для частичной суммы Т (х) с достаточно большим номером будем иметь | ф (х) — Т (х) |<[ в/2 и, следовательно, ) / (х) — Т (х) I <^ е.

70 РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ: ФУРЬЕ [ГЯ.

72 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Рассмотрим ряд Фурье этой функции со I

Из замкнутости системы собственных функций у\п следует, что если ряд Фурье по этим функциям равномерно сходится на [О, Z], то он сходится к порождающей его непрерывной функции.

74 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Можно доказать, что если непрерывная функция / (х) кусочно гладкая па [О, I], то ряд Фурье этой функции по собственным функциям г/х„ сходится к / (х) при 0 <^ х <^ I.

76 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

64) где коэффициенты А„ и Вп таковы, что ряд (1.

64) и ряды, полученные из (1.

Последовательности и ряды аналитических функций.

66) где А (х) •< О, F (х} ^> 0 и А (х) имеет непрерывную производную па [О, I], то все Кп положительны и ряд (1.

67) n=l где числа Ап и Вп таковы, что: 1) ряд (1.

Ряд Тейлора.

х ^ I и при t на /, где / — любой сегмент, лежащий на /; 2) ряды, полученные из (1.

78 РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [гл.

Ряд Лорана.

= 0, где А (х) < О, F (х) > О, А (х) имеет непрерывную производную па [О, I], то все Х„ положительны и ряд (1.

Если а0 — постоянный вектор, ф0 — постоянный скаляр, то получаем ряд формул «вынесения постоянного множителя за знак производной» в произведениях трех типов (вектор на скаляр, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов): (a (t) Фо)' = a' (t) Фо; (2.

Ряды Фурье — Бесселя.

РЯДЫ ФУРЬЕ.

Предлагаемую книгу следует рассматривать как краткое учебное пособие для студентов высших технических учебных заведений по следующим разделам; ряды Фурье и интеграл Фурье; теория поля; теория аналитических функций; некоторые специальные функции; операционное исчисление.

Толстова «Ряды Фурье» (по рядам и интегралу Фурье).

I добавлены доказательство простейшего достаточного условия равномерной сходимости ряда Фурье к порождающей его функции и доказательство связи между характером гладкости функции и быстротой стремления к нулю коэффициентов ряда Фурье.

Ряды Фурье.

IV изложены краткие сведения о рядах Фурье — Бесселя с использованием теоремы сравнения Штурма для линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ § 1.

Ряды с комплексными членами

§ 2] РЯДЫ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ 135

Пусть имеем ряд с комплексными членами + С» ^1 + ^2+ ••• 4- Wji + ••• ИЛИ 2 №п, WH= Un-\-Wn.

Ряд (3.

Тогда ее предел S называют суммой ряда (3.

5=2 wn- В противном случае ряд (3.

Из доказанного выше предложения для последовательностей непосредственно следует: для сходимости ряда с комплексными членами ~^jwn, где wn = = ип + ivn, необходимо и достаточно, чтобы ряды с действительными членами 2и„ и ^vn были сходящимися.

Из критерия Коши для последовательностей комплексных чисел непосредственно вытекает критерий Коши для рядов с комплексными членами: для сходимости ряда 2'"п необходимо и достаточно, чтобы для всякого е ^> 0 нашелся такой номер N, что при п ^> N и р ^> О имели бы

Ряд с комплексными членами ^wn называется абсолютно сходящимся, если ряд S I wn I сходится.

Из критерия Коши сразу следует, что абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд 2J wn абсолютно сходится, то при любой перестановке членов факт абсолютной сходимости и величина суммы не меняются.

В абсолютно сходящихся рядах с комплексными членами разрешается любая группировка членов (в одну группу мо:кет попадать как конечное, так и бесконечное число членов).

Si fctEtTEHHIJE РЯДЫ дящихся рядов с действительными членами его считать из вестньга.

Абсолютно сходящиеся ряды с комплексными членами можно почленно перемножать.

Это можно доказать прямым путем, но этот факт получается сразу, если считать его уже установленным для рядов с действительными членами.

Степенные ряды

Степенныл рядом называется ряд вида +°°

Если степенной ряд сходится для некоторого значения переменного, то он абсолютно сходится для всех значений переменного с меньшим модулем.

Так как ряд S°nzo сходится, то его члены стремятся к нулю и, следовательно, ограничены, т.

Но числа Kqn образуют убывающую геометрическую прогрессию, значит, ряд 2iK.

qn сходится, но тогда на основании принципа сравнения рядов с неотрицательными членами ряд 211 onz"\ сходится, следовательно, ряд З^2" а*"ь солютно сходится, что и требовалось доказать.

Если степенной ряд расходится (или неабсолютно сходится) для некоторого значения переменного, то он расходится для всех значений переменного с большим модулем.

В самом деле, если бы ряд За„2™ сходился, то по теореме Абеля (так как | z0 | < | z |) ряд 2Jnn2o был бы абсолютно сходящимся, что противоречит условию.

Область сходимости степенного ряда.

Рассмотрим какой-нибудь ряд, члены которого зависят от z.

Те значения z, для которых рассматриваемый ряд сходится, называются точками сходимости его; те значения z, для которых рассматриваемый ряд расходится, называются точками расходимости его.

Совокупность всех точек сходимости называется областью сходимости рассматриваемою ряда.

Теорема Абеля позволит решить вопрос об области сходимости степенного ряда.

Пусть 2anz" ~~ какой-нибудь степенной ряд.

В первом случае в силу теоремы Абеля данный степенной ряд сходится (абсолютно) для всех значений z (так как для любого комплексного числа z найдется положительное число большее, чем | z |).

Во втором случае в силу следствия из теоремы Абеля данный степенной ряд расходится для всех значений z =jt О (так как для любого комплексного числа z =/= 0 найдется положительное число меньшее, чем | z |).

6 3] СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 139

с центром 0 ряд сходится (абсолютно), вне этого круга ряд расходится.

Область сходимости степенного ряда есть, таким образом, круг радиуса R с центром О (точнее, внутренность этого круга плюс, быть может, некоторое множество точек окружности).

Во всех точках внутри круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится.

Если в некоторой точке па окружности круга сходимости степенной ряд абсолютно сходится, то он сходится

III абсолютно во всех точках окружности круга сходимости (ибо модули членов степенного ряда для всех точек этой окружности соответственно одинаковы).

Если в некоторой точке на окружности круга сходимости степенной ряд либо неабсолютно сходится, либо расходится, то в каждой точке этой окружности он либо неабсолютно сходится, либо расходится.

Рассмотрим теперь ряд

= 1/2, превратим этот ряд в стеленной ряд ос

1C I < р ряд сходится, при | С | ^> р расходится.

Следовательно, ряд (3.

Полагая г = 1/р, найдем, что область сходимости ряда (3.

Рассмотрим теперь ряд, бесконечный в обе стороны, +.

Ряд, бесконечный в обе стороны, считается сходящимся, если сходится ряд, составленный из членов, лежащих правее некоторого члена, и ряд,составленный из членов, лежащих левее некоторого члена (очевидно, нет надобности

СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ указывать номер этого некоторого члена, так как при другом выборе его упомянутые два ряда изменятся на конечное число членов и, следовательно, их поведение не изменится).

Таким образом, ряд (3.

8") сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходятся оба ряда

Область сходимости первого из этих рядов есть внутренность некоторого круга радиуса R с центром О.

Область сходимости второго ряда есть внешность некоторого круга радиуса г с центром О.

В этом случае область сходимости ряда (3.

Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.

10 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Если т]>Л, то ряд (3.

8") не имеет точек сходимости, если г = R, то ряд (3.

Рассмотрим степенной ряд рис- 25.

= z — а, превратим этот ряд в ряд ^Ап<С с о некоторым радиусом сходимости Л.

Возвращаясь к переменному г, найдем, что область сходимости ряда (3.

Этот круг называется кругом сходимости ряда (3.

Теперь будем расматрн-вать ряд (z-a)' • +.

Полагая 2 = 2 — я, превратим этот ряд в ряд V Л„?

Если он имеет кольцо сходимости г <С | t, \ <С Д, то область сходимости ряда (3.

Это кольцо называется кольцом сходимости ряда (3.

Для любого комплексного числа z определим функции е1 , chz, shz, cos z, sin z как суммы тех степенных рядов, в которые разлагались эти функции, когда переменное z было действительным.

Так как соответствующие степенные ряды были сходящимися на всей числовой прямой, то (в силу теоремы Абеля) они будут сходиться на всей плоскости комплексного пере§ 4] ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ДРУГИЕ ФУНКЦИИ 143менного.

Ряды Фурье для функций с периодом 2я

= cosz + i sin z, учитывая, что в абсолютно сходящемся ряде допустима любая группировка членов.

Имеем, учитывая правило умножения абсолютно сходящихся рядов: е:,= V, А--bJ М ' /с=о

Допуская в качестве составляющей еще постоянную, для которой всякое число служит периодом, приходим к такой задаче: разложить функцию / (х) с периодом 2л в ряд вида » ~- -J- (дх cos х + bi sin x) -f (д2 cos 2x + bz sin 2x) +.

или, короче, в ряд вида +<*> -у- + 2 (а«cos nx + ^n s'n n-r)> n=i где а0, аь UD а2, &2>--ч а?

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я Ц

12 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Предположим теперь, что функция / (х) оказалась такой, что для нее нашлось разложение в равномерно сходящийся ряд указанного выше вида: х) = -у- + (at cos ^x + bk sin kx).

§ 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ Чп 13

Рядом Фурье этой функции называется ряд -у- + 2 (ип COS ПХ ~Ь Ьп s'n "#), n=l коэффициенты которого определяются по формулам (1.

Последовательности и ряды аналитических функции

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

Из сказанного выше следует только, что если некоторая функция допускает разложение в равномерно сходящийся ряд вида (1.

8), то этот ряд будет ее рядом Фурье.

I Пусть теперь имеем функциональный РЯД члены которого суть аналитические Рис.

Из доказанногоследует, что если этот ряд равномерно сходится внутри D, то его сумма аналитична в D и ряд можно сколько угодно раз почленно дифференцировать, причем все получающиеся ряды равномерно сходятся внутри D.

Аналитичность суммы степенного ряда.

Пусть ^j Anzn — о степенной ряд и R — его радиус сходимости.

36), есть точка абсолютной сходимости степенного ряда, т.

ряд 2|/4,/"| сходится.

По при jzjssCr имеем |ЛП2™| <: |-4„г"|, поэтому степенной ряд 2Anzn равномерно сходится на круге |z|

Легко проверить, что при умножении функции на число ее ряд Фурье умножается на это число; при сложении функций их ряды Фурье складываются; для получения ряда Фурье функции / (х + с) следует в ряде Фурье функции / (х) заменить х иа х + с.

Так как любая замкнутая область, лежащая внутри круга сходимости, может быть заключена в круг |z| ^r при надлежащем выборе числа г < ft, то приходим к следующему заключению: всякий степенной ряд равномерно сходится внутри круга сходимости.

Так как члены степенного ряда Anzn являются аналитическими функциями, то из доказанной теоремы следует, что сумма степенного ряда есть аналитическая функция внутри круга сходимости и что степенной ряд можно любое число раз почленно дифференцировать внутри круга сходимости.

Следовательно, получающиеся в результате этого степенные ряды имеют не меньший радиус сходимости (на самом деле = тот же радиус сходимости).

РЯД ТЕЙЛОРА

14 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬВ [ГЛ.

ряд 2^4n(z ~ а)П> имеющий кольцо сходимости (рис.

Ряд Тейлора

Доказательство разложимости функции в свой ряд Фурье в точках дифференцируемости.

Сходимость этого ряда равномерна по?

на С (при фиксированном z), так как этот ряд мажорируется числовой убывающей геометрической прогрессией 2li 4+i.

Всякая аналитическая функция / (z) внутри круга с центром а может быть разложена внутри этого круга в степенной ряд + 00 /(г)- S An(z-a)n, (3.

I 141 РЯД ТЕЙЛОРА 179 коэффициенты которого определяются формулой eQe Г — какая-нибудь окружность с центром а, лежащая внутри данного круга.

Этот степенной ряд называется рядом Тейлора для / (z) в рассматриваемом круге.

Пусть функция / (г) разложена в круге с центром а -f 00 в какой-нибудь степенной ряд 2 АИ (z — а).

Тогда на Г этот ряд равномерно сходится.

Этим доказана единственность разложения аналитической функции в круге с центром а в степенной ряд по степеням z — а.

Следовательно, в разложении функции / (z) в этом круге в ряд по степеням z — а не может случиться, что все коэффициенты равны нулю.

( 14] РЯД ТЕЙЛОРА 181

Кратностью нуля аналитической функции (не равной тождественно нулю) называется такое п, что разложение в степенной ряд в окрестности рассматриваемого нуля а начинается с /г-й степени, иначе говоря, если в окрестности а имеем / (z) = (z — а)" <р (z), где аналитическая функция q) (z) такая, что ф (a) =j= 0.

Ряд Лорана

I 15] РЯД ЛОРАНА 183

Первое слагаемое правой части на основании выкладок § 14 представляется рядом:

Сходимость этого ряда — равномерная по?

на С' (при фиксированном z), так как этот ряд мажорируется чис-.

' с с получим разложение / (z) в ряд по целым степеням z — а с показателями fe 0.

Всякая функция / (z), аналитическая внутри кольца с центрами, может быть разложена внутри этого кольца в ряд + 00 /(г)- 5X(z-a)n, (3.

Этот ряд называется рядом Лорана для / (z) в рассматриваемом кольце.

Если функция / (z) разложена в кольце с центром а в + 00 какой-нибудь ряд вида ^ An(z — а)п, то, рассуждая — оо цословно, как в соответствующем месте § 14, получим: f(z)dz _.

Этим доказана единственность разложения аналитической функции в кольце с центром а в ряд по целым (^ 0) степеням z — а.

Если а есть изолированная особая точка функции / (z), то в достаточно малом круге с выколотым центром а функция / (z) будет аналитичгюй и, следовательно, разлагается в ряд Лорана -foe /(z) = 2X(2-•«)*• (3-52) — 00

Тогда вне некоторого круга с центром О она изобразится рядом Лорана + 00 /(z) = %Ak.

Пусть а — конечная изолированная особая точка аналитической функции / (z); тогда в окрестности точки а эта + 00 функция изобразится рядом Лорана/ (z) = 2 An(z— of.

16 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУ*-ЬЙ [ГЛ.

S 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2Я 1?

Если функция / (#) с периодом 2я млеет на сегменте [—я, я] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то эта функция разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке, в которой она дифференцируема.

Доказанное достаточное условие представимости функции своим рядом Фурье отнюдь не является необходимым.

Представление функции своим рядом Фурье будет иметь место и при значительно более общих предположениях.

Отметим, например, без доказательства, что если / (х) удовлетворяет условию Дирихле на [ —я, я], то / (х) разлагается в свой ряд Фурье в каждой точке непрерывности, а в точках разрывах ряд Фурье сходится к * ^ ~ ^ •

821 РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОД ОМ 2л 19 три каждого из них функция монотонна и ограничена.

Таким образом, разложение рассматриваемой функции в ряд Фурье имеет место во всех правильных точках, т.

Сходимость этого ряда равномерна относительно ф при фиксированном г, следовательно, я0, апгп, Ъпгп (п > 0) являются коэффициентами Фурье для и (reicp) как функции от ф.

Покажем, что тогда на каждом сегменте [а, Ь], где a

1 ч ' Затем, учитывая равномерную относительно а сходимость § 21) ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ КРУГА 229 встречающегося ниже ряда, получим

Так как яп = о (1/Дп), Ьп = о (1/Д"), то ряд^^Л^ - ze)nf о где Л о = а„/2; А„ = ап — ibn (n >> 0), сходится при | г — гс| < Д и изображает при | z — z0 |

Если ряд с членами, гармоническими в области D равномерно сходится внутри D, то его сумма гармонична в области D.

Если ряд 2 vn (z) сходится хотя бы в одной точке об

20 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

—• vn (zc), откуда следует, что если в точке г0 ряд vn сходится, то он сходится в каждой точке внутри К.

В точ<х>ке Z в силу изложенного ряд 2 vn оказывается сходя

1 щимся, но Z — любая точка в D, следовательно, ряд

Умножая неравенство' ГД6на -р— vn (zx + Re1*) и интегрируя по а в пределах от — я до л, получимследовательно, ряд 2^п (г) мажорируется на кругеоо

К числовым сходящимся рядом ^1~-^-ип(г^т,с,л.

1 вательно, равномерно сходится на К, но К — любой круг оо в D, следовательно, ряд 2i>n(z) равномерно сходится

Но так как модули У2 и /3 не превышают Mmn/v, где § 2] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ПЕРИОДОМ 2я 21

Из доказанного следует, что если / (х) удовлетворяет условию Липшица на всей числовой прямой, например является непрерывной функцией с периодом 2я, кусочно-гладкой на [ —я, я], то ряд Фурье для / (х) сходится к/ (х) равномерно на всей числовой прямой.

Пример, Составить ряд Фурье для функции у (!

На основании изложенного этот ряд сходится к г|) (х) равномерно на каждом сегменте, не содержащем точек вида 2Лгл, но в этих точках ряд сходится к л/2, следовательно, тоже к-ty.

22 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Из этого примера видно, что ряд

19) л виде ряда

19) получим ряд у — - - -- - -

Отметим еще, что если функция / (х) с периодом 2л кусочно-гладка на [ — л, л] и допускает лишь правильные разрывы, то ряд Фурье этой функции сходится к ней всюду (притом равномерно на сегментах, не содержащих точек разрыва).

Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4.

Если g (х) — функция аналогичного вида и такая, что К (х0 + 0) -g (х0 -0) = f (хп + 0) - / (х0 - 0), то f (х) — g (х) будет кусочно-гладкой и непрерывной в окрестности х0, следовательно, ее ряд Фурье сходится к ней в точке х0, а тогда ряд Фурье для / (х) будет сходиться к / (х0) в точке х0, если ряд Фурье для g (х) будет сходиться к g (х0), в точке х0.

— , мы не изменим ее ряда Фурье, но сделаем все точки разрыва правильными.

Следовательно, ряд Фурье функции / (х) вf(x — Q) + f(x + 0) каждой точке х сходится к — -- ' -.

Составим ряд + 00

Предположим, что при каждом х (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность С (т.

В самом деле, разложив при каждом х функцию F (х, г) в ряд Лорана по степеням z -f»

найдем, что система коэффициентов /„ (х) этого ряда будет искомой системой S.

Формулы для коэффициентов ряда Лорана (см.

=0 откуда после почленного перемножения этих равенств (умножаем абсолютно сходящиеся ряды, стоящие в правой части, и соединяем в одну группу члены, содержащие одинаковые степени г) найдем: i „i-fc

32) получаем (используя в преобразованиях§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ - БЕССЕЛЯ 257формулы Эйлера)зt *•.

Ряды Фурье—Бесселя

Кроме того, заметим, что ряды 2 ^р r^ (р > 1), или, что равносильно, ряды 2j - w 2i — п — i i сходятся.

61 РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ

§ 6] РЯДЫ ФУРЬЕ — БЕССЕЛЯ 261

J [/(*)]»***< +00, о поставлен в соответствие ряд Фурье — Бесселя

В частности, если ряд Фурье — Бесселя (4.

Пусть / (х) — функция, удовлетворяющая условиям определения § 2, и пусть ряд

Можно показать, что если v > — у и / (х) непрерывная на (О, 1] и кусочно-гладкая на [О, 1] функция, то ряд фурье — Бесселя этой функции сходится к ней при 0 <; <*

sin /гл: является ее рядом Фурье.

24 РЯДЫ ФУРЬЕ В ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

t ряда с помощью формул Эйлера (выражающих косинус и синус через показательную функцию).

Разложения в ряды.

Полагая еще са = aa/2, получим для частичных сумм ряда Фурье выражение -- + (ап COS пх

Принимая во внимание теорему Лейбница о знакочередующихся рядах, заключаем, что lira

9) представляет собой комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2п.

Отсюда следует (рассуждая, как в § 3 главы III при введении понятия радиуса сходимости степенного ряда), что либо найдется такое действительное число s0, что при s ^>?

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

5] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЁЧЙТНЫХ ФУНКЦИЙ 2?

Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2я

Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы п п

Для действительного s найдем в пределе при п -»• + с» со « dt = -Ц^ 2 1 ft* I е"Л8' ^5-2°) k=o следовательно, несобственный интеграл в левой части и ряд в правой части либо оба сходятся, лйбооба расходятся.

Чтобы ступенчатая функция, порожденная последовательностью {/г„}, была оригиналом, необходимо и достаточно, чтобы степенной ряд с коэффициентами hn имел отличный от нуля радиус сходимости [иначе говоря, чтобы числа |/ | /г„| (п= 1, 2, 3,.

Таким образом, в ряде Фурье для четной функции отсутствуют члены с синусами, и ряд Фурье для четной функции с периодом 2л выглядит так: ' / (я) ~ 4г 4- 2 ап cos nx, (1.

20) поооназывает, что если степенной ряд ^hnz" сходится прио| 2 | < р, то F (р) аналитична при Re р >• In — и тогда+ 00 00fc=0= Jо fc=oооhk J e + dt-l

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ (гл.

Для коэффициентов ее ряда Фурье находим формулы я п

Таким образом, в ряде Фурье для нечетной функции отсутствует свободный член и члены с косинусами, и ряд Фурье для нечетной функции с периодом 2л выглядит так:

Разложить в ряд Фурье функцию /(*) = -— на (— я, 0), -- щ (0, я), имеющую период 2л (в точках пя, где п — целое, полагаем / (*) = 0).

Для того чтобы степенной ряд ^Akz о изображал целую функцию экспоненциального типа, необходимо и достаточно, чтобы для некоторых положительных чисел С, S выполнялись неравенства

48) для модулей коэффициентов ряда Тейлора (гл.

Тогда, очевидно, степенной ряд ^А kzk сходится для всех z и изображает целую функцию / (г), причем для всех z имеем:

V /"+1 следовательно, "t~°° ii /i •i/(0]=2-Tisr при Rep>, о причем ряд в правой части сходится при \ р \ ^> S и изображает аналитическую функцию в окрестности бесконечно удаленной точки.

Таким образом, если / (t) — целая функция экспоненциального типа и если ее разложение в ряд Тейлора есть ос

этого ряда.

Тогда ряд У.

\ дится и ряд V—jp- (ибо—"-^- — S—j^i-j, поэтому его чле^ \ _ k>?

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ФУНКЦИЙ 29 есть / (х) = sin x + -g- sin 3x -\- -jj- sin 5x -f

Разложить в ряд Фурье функцию / (х) [—л, я], имеющую период 2л, = ж на -л- О л 2л Зл 4л

30 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Зная сумму этого ряда, легко найти

Ряды Фурье для функций с любым периодом

Возвращаясь как в ряде, так и в формулах для коэффициентов, от нового переменного t к старому перемен

РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 31

Ряд (1.

14), называется рядом Фурье для функции / (х) с периодом 21.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций с люэым периодом.

В случае четной функции с периодом 21 все Ъп — = 0 и, следовательно, в ряде Фурье нет членов с синусами.

Покажем сперва, что степенной ряд 51 ,".

(st) dt > 0, то 'о оо -Т7—С~*0 и, следовательно, степенной ряд У\ —тт—* всюду ЛУ„ о Л1„ сходится и изображает некоторую целую функцию / (t).

В случае нечетной функции с периодом 21 все ап — 0 и, следовательно, в ряде Фурье нет свободного члена и членов с косинусами.

32 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Работа векторного поля 98 Разрывный множитель Дирихле 56 Ряд Лорана 184 — степенной 137 — Тэйлора 179 — Фурье в комплексной форме для Функции любого периода 33 — — — — — — — периода 2л 25 — — нечетной функции любого периода 31 ~- — — — периода 2я 28 — — по ортогональной системе функций 58 — — функции, заданной на сегменте 33 —-------любого периода 31 — — — периода 2я 13 — — четной функции любого периода 31 —-------— периода 2л 27 — Фурье — Бесселя 261

Написать разложение в ряд Фурье нечетной функс периодом 1.

Ряды Фурье и интеграл Фурье.

Разложить в ряд Фурье | sin x \.

1 \7 1 1111 § 6] РЯДЫ ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИЙ С ЛЮБЫМ ПЕРИОДОМ 33

Переходя как в ряде, так и в формулах для коэффициентов к старому переменному х и замечая, что t = nx/lt dt = — dx, получим в точках дифференцируемости: + °° / (я) = 2 '„**'"«•'', (1-17) — ОО где г сп = -^ / (х) ir*n**fldx (п = 0, + 1 , ± 2,.

18), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 21.

Разложение в ряд Фурье функции, заданной на сегменте [ — I, I].

Отсюда и из сказанного ранее о разложении периодических функций в ряды Фурье следует, что если f(x) имеет на [ — I, I] не более конечного числа точек разрывал абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого

РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Разложение в ряд косинусов функции, заданной на сегменте [О, Z].

Ряды Фурье для функций с периодом 2я.

Отсюда и из сказанного ранее о разложении четных периодических функций в ряды Фурье следует, что если f(x) имеет на [О, I] не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то внутри этого сегмента в точках дифференцируемости имеем разложение в ряд косинусов: где

Разложение в ряд синусов функции, заданной на сегменте [О, I].

Отсюда и из сказанного ранее о разложении нечетных периодических функций в ряды Фурье следует, что если / (х) имеет на [0, 1\ не более конечного числа точек разрыва и абсолютно интегрируема на этом сегменте, то- внутри этого сегмента в точках' дифференцируемости имеем разложение в ряд синусов: • -ft» /W=S^si»^-, (1-23) n=i где i (x)S[n-dx (n = 1,2,3,.

На концах сегмента ряд (1.

36 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

Ряды Фурье для четных и нечетных функций с периодом 2л.

Ряды Фурье для функций с любым периодом.

38 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1ГЛ.

В упомянутой линейной комбинации может участвовать не только конечное, но и бесконечное число функций, однако в последнем случае постоянные коэффиценты следует брать так, чтобы получающийся ряд и ряды, появляющиеся из него после однократных и двухкратных почленных дифференцирований по рассматриваемым переменным, были бы равномерно сходящимися (тогда законы однократные и двукратные почленные дифференцирования, с которыми придется встретиться при проверке выполнимости (1.

Е частности, требования, предъявляемые к Ап, Вп, выполняются, если сходятся ряды

40 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ |ГЛ.

42 РЯДЫ ФУРЬЕ и ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ 1гл.

Пусть теперь числа Ап таковы, что числовой ряд

Тогда функциональный ряд i оо n'::=u2.

лЯ-с ^Апе '" sin—— 1 • равномерно сходится при t ]> 0 и ряды, полученные из него путем почленных дифференцирований любое число раз, равномерно сходятся при t^e, где е—любое положительное число.

Отсюда следует, что в случае сходимости ряда ос ^j I ^n| функция непрерывна при t > 0, удовлетворяет граничным условиям (1.

Если ф (х) на [0, 1\ допускает разложение по синусам ф(;1') = ^n sin-p и при этом ряд М'>1 сходится, то поставленная задача разрешима, ибо, определив тогда и (х, I) по формуле (1.

44 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

46 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.

48 РЯДЫ ФУРЬЕ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ [ГЛ.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru