НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Образ"

Таким образом, для краевой задачи (29) верны теорема 1 § 21.

Таким образом, решения уравнения Гельмгольца (1) существуют в У для любой финитной обобщенной функции / и представляются потенциалами и = —

Таким образом, имеет место следующее утверждение, называемое принципом предельного поглощения: реше-~ние уравнения (1), удовлетворяющее условиям (3) или.

Таким образом, решение уравнения Гельмгольца (1), удовлетворяющее условиям излучения (3) или (3), можно рассматривать как амплитуду установившегося коле•" В.

Таким образом, фундаментальное решение $"2 (г) =« I ,.

Таким образом, С?

Таким образом, в силу (4) и (8) , построено счетное число частных (линейно независимых) решений уравнения (1): *), (9) Л = 1, 2,.

Таким образом, формальное решение граничной задачи (35) — (36) — (37) выражается рядом sh ]Лл^(/ — t) sh 1/1^" i u(z,t)*= 7.

Таким образом, получена оценка/2 /(ОХС^ео + Е^ О- (19)

Таким образом, в силу (26), доказано первое предельное соотношение (25).

Таким образом, непрерывность линейного функционала I означает следующее: если /k -»• 0, k ->• <» в Jf, то последовательность комплексных чисел (?

Таким образом, построена последовательность uh(x, f), ft = 1, 2,.

L уравнение (31) имеет единственное решение u^J(L, и, таким образом, возникает некоторый оператор, сопоставляющий каждому элементу F из Яъ элемент и из ML — « решение уравнения (31).

Таким образом, если система собственных функций {uh} эрмитова оператора L не более чем счетна, то ее можно выбрать ортонормалъной: (Luh, «i) =?

Мы видим, таким образом, что коэффициенты {а„(х0), atj = ал, /, i = 1, 2,.

Таким образом, семейства характеристик (28) образуют семейства координатных линий (рис.

Таким образом, G есть область изменения аргументов х в уравнении (3) — область задания урав- j нения (3).

Таким образом, различие в типах рассматриваемых уравнений тесно связано с различием физических процессов, описываемых этими уравнениями.

Таким образом, краевая задача математической физики — это дифференциальное (интегро-дифференциальное) уравнение (или система уравнений) с заданными краевыми условиями.

Различают, таким образом, следующие три основных типа краевых задач для дифференциальных уравнений.

Для уравнения колебаний (1) (гиперболический тип) задача Коши ставится следующим образом: найти функцию и (х, t) класса Cl2(i>0)fl Л С" (?

Таким образом, решение задачи может существовать лишь при и\(х) = const = я.

Для уравнения колебаний (I) (гиперболический тип) смешанная задача ставится следующим образом: найти функцию и(х, t) класса С2(ДГ)П

, и — соответствующие решения задачи: тогда должно быть uk ->• и, k ->• оо, в смысле сходимости, выбранной надлежащим образом.

Таким образом, задача Коши для уравнения Лапласа поставлена некорректно (в смысле определения § 4.

Таким образом, классические постановки задач уже предполагают достаточную гладкость входящих в задачу данных.

Быстрое развитие теории обобщенных функций стимулировалось главным образом потребностями математической физики, в особен§ 5] ОСНОВНЫЕ И ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ 85ности теории дифференциальных уравнений и квантовой физики.

Таким образом, слабым пределом последовательности функций ]г(х), е-»• О, является функционал ф(0), сопоставляющий каждой непрерывно!

Таким образом, плотность, создаваемая материальными точками, не может быть описана в рамках классического понятия функции, и для ее описания следует привлекать объекты более общей математической природы — линейные непрерывные функционалы (обобщенные функции).

Сходимость в 3) определим следующим образом.

Совокупность основных функций, носители которых содержатся в данной области G, обозначим через 2)(G); таким образом,

Теперь построим подпоследовательности {/sv} и {%v} следующим образом.

Таким образом, в силу (5) — (7), построенные /sv и таковы, что

Таким образом, всякая обобщенная функция индуцирует в каждой области свой локальный элемент.

Таким образом, функционал (11 J определяет обобщенную функцию из 3)' '.

Таким образом, все коэффициенты Фурье по тригономет

Таким образом, локально интегрируемая в R" функция xj(x) равна нулю в смысле обобщенных функций.

Таким образом, 521 — е?

Таким образом, if(;r) = 0, |х| >тах(/?

Таким образом, доказана следующая Теорема.

Таким образом, 6(х) восстанавливается как первообразная своей обобщенной производ* ной б(х); с другой стороны, 6 (х) не восстанавливается как первообразная своей классической производной (О'(х)} = 0, х ф; 0.

Мы видим, таким образом, что обобщенные и классические производные, вообще говоря, не совпадают!

Таким образом, '

Таким образом, i|) e С°° (Rn).

Следовательно, правая часть равенства (2), равная (/, 1|з), имеет смысл для любых обобщенных функций / и g и, таким образом, определяет функционал на 2)(Rn+m).

Таким образом, функционал 1(х) • g(y}~ 2D'(Rn+m), т.

Таким образом, получено равенство (/ (*), J Ф К 2/) ^) = J (/ (*)« Ф (*i г/)) ^ (i4) справедливое для всех /<=0'(Д") и фе^5(Лп+т).

), правая часть равенства (17) существует не для любых пар обобщенных функций / и g, и, таким образом, свертка существует не всегда.

Сходимость в 9" определим следующим образом: последовательность функций ф4, ф2,.

Ь) Если /—финитная обобщенная функция из 3b', то она единственным образом продолжается на У как элемент из У' по формуле (f, Ф) = (/, лфУ, Фе^, (6) еде г] е Q) и г\ = 1 в окрестности носителя /.

Мы видим, таким образом, что совокупность обобщенных функций ЗР'+ образует сверточную алгебру — подалгебру алгебры 2)+ (см.

Таким образом, операция преобразования Фурье F переводит пространство У в У.

Таким образом, мы доказали, что преобразования Фурье F и F'1 преобразуют У на У" взаимно однозначно и взаимно непрерывно.

Таким образом, мы доказали равенство (30) поточечно при условии, что преобразование Фурье понимается как несобственный интеграл.

Мы доказали, таким образом, что 2)+ (я) — сверточная алгебра; она является подалгеброй сверточной алгебры Я>+ (см.

Таким образом, а (* = cos at — sin и решение уравнения (30) выражается формулой (см, § 10] ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 189 § 7.

Таким образом, уравнение (6) всегда разрешимо в У", *•[*] = «в тт=иг

Особенность изложения состоит в том, что в обобщенной постановке задачи Коши начальные условия включаются в мгновенно действующие источники; это позволяет построить ее решение в виде свертки источника с надлежащим образом выбранным фундаментальным решением.

Таким образом, функция и в обобщенном смысле удовлетворяет в R1 дифференциальному уравнению

Таким образом, решение n(t) задачи Коши (1) — (2), будучи продолжено нулем на t < 0, удовлетворяет уравнению (3), решение которого единственно в алгебре 2)+, Поэтому формула (5) при t > 0 дает искомое решение задачи Коши (1), (2) : u(t)= Z(*-T)/(T)dt+ ^chZ(t).

Таким образом, число \х — у\ есть евклидово расстояние между точками х и у.

Таким образом, в момент времени t, через точку х проходит передний фронт волны, а в момент времени?

Таким образом, наблюдается передний фронт волны \х\ = at, движущийся на плоскости со скоростью а.

Таким образом, здесь наблюдается передний фронт и отсутствует задний фронт волны.

Таким образом, на прямой для начального возмущения Ui(x)-§(t) имеет место диффузия волн, а для начального возмущения и„(:г) • 6'(?

С помощью представления (6) общего решения волнового уравнения (4) классическое решение задачи Ко-ши (4) — (5) строится следующим образом.

Таким образом, каждая составляющая X удовлетворяет однородному уравнению колебаний струны с о = 1 (см.

Таким образом, класс C°(G) состоит из всех непрерывных функций в G, а класс С"'(G) можно отождествить с множеством всех непрерывных функций па G.

Таким образом, задача Гурса (1) — (2) эквивалентна системе интегральных уравнений (6).

Таким образом, J% ^^(112 U П3).

Таким образом, функция ф(а;) финитна тогда и только тогда, когда supp ф ограничен, g 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 17

Таким образом, функция S является естественным обобщением фундаментального решения (см.

Таким образом, осталось проверить, что функция и (х, у) = J 31 (5, л: х, у) / (?

Таким образом, С (Т) —линейное нормированное пространство.

Таким образом, мы приходим к следующему выводу: к данному решению задачи Коши, зафиксированному в области?

Таким образом, тепловой потенциал F = & * / представляется формулой (4).

Таким образом, по теореме § 11.

Таким образом, характеристические числа ядра У?

Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между непрерывными ядрами и соответствующими им интегральными операторами.

Таким образом, формула (8) верна при всех р.

Таким образом, в силу (25) последовательные приближения ф(р) при

Таким образом, для доказательства леммы осталось установить оценки (32) при cd + а2 > п.

Действуя подобным образом, через конечное число шагов добьемся того, что в представлении (2) системы функций {/J и {gt} окажутся линейно независимыми.

Таким образом, резольвента 5?

Таким образом, система (8*)— союзная к системе (8): а = и*а + ъ, (9*) § 18] ТЕОРЕМЫ ФРЕДГОЛЬМА 297 где

Таким образом, ядро Ж(х, у) представляется в виде

Таким образом, при|Х|<-р в классе С (&) интегральное уравнение (1) эквивалентно интегральному уравнению (22) с вырожденным ядром &~(х, у; К), аналитическим в круге | К | < -у, а союзное к нему уравнение (1*) эквивалентно уравнению (22*), союзному к уравнению (22).

Таким образом, компакт

Таким образом, ШфН = v2 > 0, откуда и следует, что

Таким образом, построенное характеристическое число Я,| по модулю равно — и, сталобыть, в силу (6), удовлетворяет вариационному принци-ПУ (5).

Таким образом, Я0 и фо — характеристическое число и соответствующая собственная функция ядра У?

Таким образом, KP+i — наименьшее по модулю характеристическое "число ядра У?

Таким образом, равенство (12) доказано и ряд в (12) сходится регулярно по х е G при каждом у е G.

Таким образом, резольвента 5?

Таким образом, функция Грина $ (х, у) является естественным обобщением фундаментального решения (см.

Таким образом, установлена эквивалентность задачи Штурма — Лиувилля (1) — (2) задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения (16) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) непрерывным ядром ^^(х, у).

Таким образом, функция / является решением краевой задачи Lj = h, /е причем, по построению (см.

Таким образом, для задачи Штурма — Лиувилля верна теорема 1 § 21.

Таким образом, решение неустойчивой краевой задачи (22) — (23) (g(x) ^ 0!

Таким образом, при v = 0, ±1,.

Таким образом, в силу условия v > — 1 левая часть равенства (13) обращается в нуль при х — 0 и мы получаем 1 /v

Таким образом,

Таким образом, мы доказали, что краевая задача (24) — (25) имеет собственные значения ^ <.

Таким образом, функция ~]/хи (х) истокообразно предста-вима через вещественное непрерывное симметричное ядро 1xy&v(x, у).

Таким образом,

Таким образом, мы доказали, что I^Cl(R") и допустимо дифференцирование один раз под знаком интеграла 1(х).

Таким образом, между сферическими функциями FI(S), s^St, порядка I и однородными гармоническими полиномами Ui(x), x&R", равенство устанавливает взаимно однозначное соответствие.

Таким образом, задача нахождения сферических функций свелась к уравнению (10) при v = т2, т== = О, 1,.

Таким образом, функция И/(г° и> следовательно, полином ^ удовлетворяют уравнению (13).

Таким образом, всякая функция /^5'2( —1( 1) разлагается в ряд Фурье по полиномам Лежандра ;=о сходящийся в S72(—1, 1) (см.

Таким образом, в силу (40), уравнение Лапласа имеет следующий набор линейно независимых решений: г'У,(9, Ф), г-'-1 У, (9, ф), Z = 0, 1,.

Таким образом, уравнение (1) расщепилось на два уравнения (5) и (6), или, как говорят, переменные разделились; при этом дополнительно появился неизвестный параметр и,.

Таким образом, мы видим, что норма II II удовлетворяет условиям а) — с) § 1.

Аналогичным образом рассматривается п краевая задача л 1 д" , — Да = шг -—f- аи = 0,.

Таким образом, для интегрального уравнения (11) и союзного к нему уравнения (11*) применимы все положения теории Фредгольма (см.

Таким образом, К = 1 не есть характеристическое число ядра У(*(х, у).

Таким образом, внешняя задача Дирихле имеет решение, представимое потенциалом двойного слоя, при любой непрерывной функции UQ , ортогональной к плотности Цо потенциала Робена

Чтобы учесть и такие решения и тем самым избавиться от условия (19), поступаем следующим образом.

Таким образом, справедлива следующая




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru