НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Окрестность"

Так как D ^= 0, то в некоторой окрестности можно выразить переменные х через переменные у, х = х(у].

В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли одним и тем же преобразованием (2) привести уравнение (1) к каноническому виду (13) в достаточно малой окрестности каждой точки?

и, — , -f- \ — 0, (19) dxi дхду ^ ду* \ ' *' ' to' ду ) ' v ' причем предполагаем, что коэффициенты a, b и с принадлежат классу С2 в некоторой окрестности и нигде в ней не обращаются в нуль одновременно.

Для определенности можно считать, что а 3= 0 в этой окрестности.

Если же а и с обращаются в нуль одновременно в какой-либо точке, то b ^ 0 в окрестности этой точки.

= О в рассматриваемой окрестности.

Из условия -^- ф Оследует, что кривые со (х, у)— С заполняют некоторую окрестность.

Поэтому функция <в удовлетворяет в этой окрестности одному из уравнений (24), напримерб В.

Но по теореме существования и единственности решения для обыкновенных дифференциальных уравнений через каждую точку из рассматриваемой окрестности проходит одна интегральная кривая ш(х, у)=С этого уравнения.

Поэтому уравнение (24') удовлетворяется во всех точках этой окрестности.

Как следует из общей теории обыкновенных дифференциальных уравнений*), такие интегралы существуют в, возможно, меньшей окрестности.

Докажем это утверждение для того случая, когда коэффициенты а, Ъ и с уравнения (19) — аналитические функции переменных (х, у) в окрестности некоторой точки (см.

8), что в достаточно малой окрестности существует аналитическое решение а>(х, у) уравнения*) t _

и(х, т)"= и(х, т + а(х))" (9) в окрестности поверхности?

, хп}, называется аналитической в точке х„, если в некоторой окрестности этой точки она представляется в виде равномерно сходящегося степенного ряда \а\>о , |а|>о (точка ха может быть и комплексной).

Если все функции q>ik(x} аналитичны в некоторой окрестности точки х„ и все функции Ф» (х, t}.

) аналитичны в некоторой окрестности точки то задача Коши (28) — (29) имеет аналитическое решение в некоторой окрестности точки (ха, i0) и притом единственное в классе аналитических функций^

, UN в окрестности точки (ха, ta) ищется в виде степенных рядов -и*°(*-*^ (30)

Из начальных условий (29) и из уравнений (28) последовательно определяются все производные dt(dxui в точке (ж0, М • Равномерная сходимость рядов (30) в некоторой окрестности точки (х„, ta) доказывается методом мажорант.

Действительно, эта теорема гарантирует существование и единственность решения лишь в достаточно малой окрестности, или, как говорят, в малом; обычно же эти факты требуется установить в наперед заданных (и отнюдь немалых) областях, или, как говорят, в целом.

С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя, например, измерить плотность вещества в точке, а можно измерить лишь его среднюю плотность в достаточно малой окрестности этой точки и объявить это плотностью в данной точке; грубо говоря, обобщенная функция определяется своими «средними значениями» в окрестностях каждой точки.

Пользуясь предыдущим замечанием, можно считать окрестности шарами.

По построению h(x)^ 1 в окрестности зиррф.

Чтобы определить однозначно произведение обобщенных функций / и g, достаточно, чтобы они обладали, грубо говоря, свойствами: насколько / «нерегулярна» в окрестности (произвольной) точки, настолько g должна быть «регулярной» в этой окрестности, и наоборот.

g) Доказать равенство ft), веС-(Д"), h) Пусть / — финитная обобщенная функция в Л1 и т| — произвольная функция из 3)(Rl), равная 1 в окрестности supp /.

Формулу (16) удобно получать локально, в окрестности каждой точки xh, с использованием формулы (14)' \2Л

Пусть ц (х) — основная функция, равная 1 в окрестности точки х = 0.

0(1 «1 справедливой в некоторой окрестности (где л = 1) точки О при всех N ^ тп.

Тогда свертка / * g существует в 3)' и представляется в виде где т) — любая основная функция, равная 1 в окрестности носителя g.

D(R"), равная 1 в окрестности suppg, и supp т] с: с: С/л.

Тогда их свертка f * g существует в 3) + и представляется в виде гЗе T)i(i) u Г)2(0 — любые функции класса С°°(П{), равные 1 б окрестности полуоси [0, °°) ц 0 и/ш достаточно больших отрицательных t.

Далее, по построению i]i(t)= 1 и r\z(t)~ 1 в окрестности носителей /(t) и g(~t) соответственно.

25 и равна 1 в окрестности носителя г|з.

Ь) Если /—финитная обобщенная функция из 3b', то она единственным образом продолжается на У как элемент из У' по формуле (f, Ф) = (/, лфУ, Фе^, (6) еде г] е Q) и г\ = 1 в окрестности носителя /.

(Ь)7, (8J где ц (х) '— основная функция, равная 1 в окрестности точки 0 и равная 0 при Ы > 1.

Докажем, что / * g принадлежит У и представляется в виде (/**, Ф) = (/(*) где г\ — любая функция из 3), равная 1 в окрестности носителя g.

, Ф) = , (17)' где т][ ц Т]2 — любые функции класса С°° (R1) , равные 1 в окрестности [0, °°) м 0 и/ж больших отрицательных t.

Если / — финитная обобщенная функция, то ее преобразование Фурье принадлежит классу 6М и представляется формулой = (fW, T](x)e(J, (23) еде TI — любая функция из 2), равная 1 е окрестности носителя /.

6 свертка / * g e У и представляется в виде (1*8, ф) = (/(-г), (&(У), т1Мф(ж + у))), Фе^, где \\^2), г| = 1 в окрестности supp^.

пусть далее т] — любая функция класса SD(Rn), равная 1 в окрестности носителя /.

)=1 в окрестности носителя /(1, t) и т] (т) 1](а"т2 — \у\'') = 1 в окрестности носителя g(y, т).

Окрестностью множества А называется всякое открытое множество, содержащее А; ъ-окрестностъю А, множества А называется объединение шаров V(х; в), когда х пробегает А: ЛЕ = = U U (Х- 8).

Будем говорить, что поверхность S принадлежит классу Ср, р~^ 1, если в некоторой окрестности каждой точки а;0 s S она представляется уравнением ^Х(1 (х) = 0, причем grad сох (х) ф 0 и функция ых (х) непрерывна вместе со всеми производными до порядка р включительно в упомянутой окрестности.

Окрестностью точки ха на поверхности S называется та связная часть множества S Л U(x0; Щ, которая содержит точку х0.

Обратно, если, вектор-функция X класса С*(0 ) удовлетворяет уравнению (40) в окрестности О точки, (ао, TO), причем &2(Х,Х')>0 и Х2=?

Пусть вектор-функция X класса С*(0) в окрестности О точки (otj, TO) удовлетворяет условиям (43).

Пусть в окрестности С?

+ т], 6 = | — т], получим представление (41) и ab' — a'b^Q в некоторой окрестности <2'<=.

Пусть Х1 и Х2 — два решения задачи Коши (39), (40), (51) класса Сг в некоторой окрестности О интервала а <; а < ji прямой Т = 0, причем в О выполнены уело- рис 70.

5), нашлись бы такие окрестности U(x'\ r)a G и U(y'\ р)<= G, что |ф,(х)!

IV и и бы существовала такая точка х0 е G, что то по непрерывности нашлась бы такая окрестность U <= G точки х„, что Re Ж(х, у)<0, х е U, уе= U.

Если бы в некоторой точке x'^U(x0\ r0) было а(х')< <М, то, по непрерывности, неравенство и(х)<М имело бы место и в некоторой окрестности ЫА/ точки х'.

1, функционал обращается в нуль на всех основных функциях, равных нулю в окрестности точки {0}.

V где 1] — произвольная функция из 25, равная 1 в окрестности S.

Это условие состоит в том, что функция и должпа быть ограниченной в окрестности точки г = 0.

Для поверхности Ляпунова S существует такое число г0 > 0, 4Оо<1, что для любой точки х е S окрестность их — S Л U(х; гс) пересекается прямой, параллельной нормали пх, в единственной точке.

На основании сказанного, оценки (24) и (25) достаточно установить для всех у из (произвольной) окрестности ux = S(\U(x; г„).

НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ окрестность цх = 5 П U(x, r0) точки х, получим ________ •Х1У ,7 С , I 'ХУ Л С ------------------Г WO у ~Т~ \ ^ U-O у • |г„и|а " J U-vla y




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru