НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Оценка"

Переходя в этом равенстве к пределу при R -*• °° и пользуясь оценкой (2), получаем условие (4).

Докажем оценку (10).

Оценка (И) доказывается аналогично.

Тогда при всех ^ е G справедливы неравенства l откуда и из (16) следует оценка (10):

Из принципа максимума вытекает, что функция Грина удовлетворяет оценке

Аналогично убеждаемся в справедливости оценки где ра — min p (х), х е G, pa > 0.

Интегрируя полученное дифференциальное неравенство, для функции / получаем оценку t у 2р J Из оценок (9), (10) и (И) выводим оценки

Меняя порядок интегрирования в последнем интеграле, получим искомую оценку

Теперь, пользуясь оценками (12), (13) и (14), докажем следующую теорему.

Таким образом, получена оценка/2 /(ОХС^ео + Е^ О- (19)

е[0, Т] оценку (16):

Докажем, что оценки (12), (13) и (14) остаются справедливыми и для обобщенного решения и(х, t) задачи (1) — (2) — (3).

ll, Л ч- », и переходя к пределу в (28) и (29), убедимся в справедливости оценки (14).

Оценки (12) и (13) устанавливаются аналогично, если воспользоваться предельными соотношениями (25).

F —- М —- Mt ^ 0, (х, t) e Цт', v — — t < Л/j,- (х, t) <=SX [О, Т], и пользуясь неравенством (4), получаем оценку

Аналогично, вводя функцию "о и пользуясь неравенством (4'), получим противоположную оценку:

) — (2) — (34) м Р^С(ЦК), то при любом Т>0 справедлива оценка

Пользуясь полученной оценкой, докажем следующую теорему, § 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 505

Единственность решения вытекает из того, что, в силу оценки (9), однородная задача (1) — (2) — (30 (при ц„ = 0, у = 0 и F = 0) имеет только нулевое классическое решение (см.

Применяя неравенство (9) к функции ц и пользуясь оценками (10), получим оценку (11).

Докажем, что оценка (9) остается справедливой и для обобщенного решения и(х, t) задачи (1) — (2) — (3i).

Применяя к решениям uh оценку § 34] УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 507 (9), при всех Т>0 получаем

Учитывая предельные соотношения (12) и (13) и переходя к пределу в неравенстве (15) при k-^°°, убедимся в справедливости оценки (9).

Из оценки (9) вытекают единственность обобщенного решения задачи (1) — (2) — (3,) и его непрерывная зависимость от и„, v и F в смысле теоремы § 34.

Применяя это неравенство к правой части равенства (24) , получаем оценку | (/, т, (х) HV<^) \<С\ г, (*) (te) V«'*> Цр -sup (l + H)p|9 из которой и вытекает, что F[{] e QM (см.

*n)=*+ty, (46) не зависит от т), целая и удовлетворяет при некотором т ^ 0 и любом е > 0 оценке

Обратно, если целая функция f(z) удовлетворяет при любом 8 > J3 оценке (47), то существует (единственная) /ей5'(Я"), supp / cr U а такая, что имеет место представление (46) (теорема Пейли — Винера — Шварца).

Действительно, в полуплоскости о > а подынтегральная функция в (2), в силу (1), имеет оценку и, следовательно, абсолютно интегрируема.

2) , при любом е > О и некоторых СДо^Х) и m — пг(аа)15* 0 получим оценку (18) \ЗГ(р)\<С(а0) sup |( т] (0 *-<'-"•>' )(e) 1< < СЕ (а„) е*° (1 + | р |т ),; а>о-0, так что &~ ^ Я (а).

Рассмотрим сперва случай, когда функция ~ при всех о > а0 > а удовлетворяет оценке г (0 \ ека °

Пользуясь оценкой (20) и считая а>а0>а, оценим /(0:

Устремляя в полученной оценке а к +°°, выводим /(i) = 0.

аналитическую в полуплоскости о > а и удовлетворяющую при всех о > а„ оценке типа (20):

§ 12] ВОЛНОВОЙ ПОТЕНЦИАЛ и удовлетворяет оценке |V, (*,')!

Из иредстанлепия (24) следует также оценка (22) для потенциала Vs: , О I

Так как F3 <н С2(< 5* 0), то из оценки (22) вытекают начальные условия (23).

1), и,еС"(Д1) при п = 1, то потенциалы Уп0) u Vn*1 принадлежат классу С2 (t > 0) и удовлетворяют оценкам |П°Ч*,01<* тахК(1)1; (30)

Совершая в формуле (29) замену переменных х — | = ats, t > 0, получим представление s, (34) из которого следует, что УЗ удовлетворяет оценке (30) и принадлежит классу 6'2(?

П" (х, 0 = u0 (х — ats) ds — -^- ] (gradx uu (x — ats), s) dst s, откуда вытекает, что У(3 удовлетворяет оценке (31): | Уд1' (х, t) |

j ^ : — откуда и вытекают требуемые свойства гладкости п оценки (30') и (31') для потенциалов V%0 н V% , например,

и0 — Ио1 < So, \Ui — uj < BI, |grad(u0 — w0)|

оценки где

Так как функции ир = и*, vp = v* и wp = w* удовлетворяют рекуррентным соотношениям (8), то, по доказанному, для них справедливы оценки типа (9) :

Потенциал V удовлетворяет оценке t)\^t sup | /(I, т) |, *>0, (5) и начальному условию xt=Rn

Так как h = О при t < О, то до-статбчно установить, что функция h удовлетворяет оценке (5) при t>0.

<0 и, в силу (7), удовлетворяет оценке (5).

Из оценки (5) следует, что V удовлетворяет начальному условию (6).

Так как функция h(X,t) = $\u0(l)\g(x-l,t)<% обращается в нуль при t < 0, а при t > 0, в силу (1), § 16] ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 271 удовлетворяет оценке (9): h (x, t) < sup | ий (I) I J $ (x - I, t) dl = sup I u0 (I) 1,?

,*)<& (8') обращается в нуль при t < 0 и, в силу неравенства |У(0М

I/ — Я < 8, |н„ — Н01 < 80, то соответствующие решения и и и в любой полосе Q^t^T удовлетворяют оценке \u(x,t\-u(x,t)\*ZTu + zt.

Единственность решения задачи Коши для уравнения теплопроводности можно установить в более широком классе, а именно в классе функций, удовлетворяющих в любой полосе 0 ^ t sg Т оценке

Из этой оценки следует, что ряд

Ф(р) (*)=: Ф (х) = 2 Ь* ( #*/) И, Р -+ оо, (12) ft=0 причем, в силу (11), справедлива оценка

Это решение представляется в виде регулярно сходящегося на G ряда Неймана (12) и удовлетворяет оценке (13).

Из оценки (18) следует, что ряд

(25) Итерации Kpf^C([Q, а]) и удовлетворяют оценке ) | < 1 / 1с г * е [0, а], р = О, 1,.

Докажем оценку (26) по индукции по р.

Для р = 0 оценка (26) верна.

Из оценки (26) вытекает, что ряд Неймана (10) мажорируется на [0, а] сходящимся числовым рядом ft=0 и потому сходится регулярно по х на [0, а] при любом Я, определяя непрерывную функцию ср (х).

При этом, в силу (27), справедлива оценка

Применяя к этим равенствам оценку (26): ko(*)lHbP*4ol

Это решение представляется регулярно сходящимся рядом Неймана (28) и удовлетворяет оценке (29).

, у eg" и удовлетворяло оценке \Х(х, -У) К- — f^cT> a

Таким образом, для доказательства леммы осталось установить оценки (32) при cd + а2 > п.

75), выводим оценку j

Из доказанной леммы следует, что все повторные ядра ЖР(х, у) полярного ядра Ж ' (х, у) — полярные и удовлетворяют оценкам если ра — (р — 1) п > 0;

Пользуясь оценкой (28) § 1.

Kw — — \ —----------ф (у) dy tej |,_„|» доказать оценку Лг = Лг* < — (l — *~aD), где D — диаметр области G сг и3.

Аналогично устанавливается и оценка (33*).

(х, у), где &>(х, у)—вырожденное ядро и С$(х, у)—малое полярное ядро, удовлетворяющее, в силу (33) — (33*), оценкам max ^\Q(x,y)\ df/

Из оценки (6) § 17.

Отсюда, пользуясь оценками (4) и (5) § 17.

Докажем оценки р= 1,2,.

Применяя к правой части полученного неравенства неравенство (46) при q = 1 с заменой р на р — 1, получим оценки (40).

При этом оценки (40) имеют место при p^2pi (см.

Оценка (6) доказана.

Отсюда, принимая во внимание оценку § 1] НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ И ПРЕДЛОЖЕНИЯ 27 при \х\ > 7?

Первое слагаемое справа, в силу оценки (6), не превосходит 2МСЛцп~* и потому может быть сделано <е/2 при достаточно малом TJ.

В силу оценки [ГЛ.

Здесь мы воспользовались оценкой (6), предполагая, что G<=-UR.

b) Пользуясь формулой (19), доказать оценку |^г(ц)|<1, ^е [-1, 1].

(19) Из (19) при всех у^их вытекают оценки | (я,/) | = | (я - я0, /) + (я0, ») | < | /г - «о |< С | г/ 1«, ] I (я, У) | Н (я - я„, У) + («о.

На основании сказанного, оценки (24) и (25) достаточно установить для всех у из (произвольной) окрестности ux = S(\U(x; г„).

Оценка (24) следует из оценок (19) и (23):

Докажем теперь оценку (25) на ых.

3 получаем оценку з /

Отсюда, пользуясь неравенством (23) и за^мечая, что § 27] НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ 409 р < \х' — у\, х' е я0, при всех у е их и ж' е л0 получаем оценку (25): | cos х, + cos

В силу оценки \x' -у\>\у-х\-\х-х'\>гй-^1=:-?

V и пользуясь оценками (23) и (25), получаем оценку

Для оценки второго интеграла справа в (28) перейдем к локальным координатам (см.

Учитывая полученное неравенство, продолжим оценку (29):

Второй же интеграл справа в (31), в силу оценки (24), сходится абсолютно и потому стремится к нулю при и, -*• х (см.

100), из (24) выводим оценку -j/h, х, y^S, (34);

е на S, то соответствующие решения и и и удовлетворяют оценке \и(х) — й(х)\^Е, x^G (xe^Gi).

4, удовлетворяет оценке

= у и удовлетворяет оценке и, следовательно, является полярным ядром (см.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru