НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Вси"

Сейчас мы изложим некоторые результаты, связанные с распределением значений функций, регулярных или мероморфных во всей конечной плоскости (функции, регулярные во всей конечной плоскости, называются целыми функциями).

Для любой функции F(z), мероморфной во всей конечной плоскости, при любом фиксированном, t, и при г —»• оо имеет место соотношение m(r, Q-\-N(r,?

Доказанная теорема вскрывает интересную сищетрию в распределении значений функции, мероморфной во всей конечной плоскости:

Результат, который мы докажем в следующем параграфе (вторая основная теорема неванлинновской теории распределения значений), состоит в том, что сумма дефектов всех значений для мероморфной во всей конечной плоскости функции не превосходит двух.

IX) о том, что функция, мероморфная во всей конечной плоскости, принимает все значения, за исключением, может быть, двух.

= |4-rrj, непрерывна во всей плоскости, за исключением конечного числа точек, и удовлетворяет условиям

Обозначим где F(z) — некоторая функция, мероморфная во всей конеч ной плоскости.

) и проинтегрируем по всей плоскости.

С помощью леммы 1 нам уже нетрудно выяснить геометрический смысл функции Т (г, F) — характеристики меро-морфной во всей конечной плоскости функции /г(~).

) и проинтегрируем по всей плоскости.

) положительна и непрерывна во всей плоскости, за исключением точек?

) по всей плоскости абсолютно сходится, как и интеграл, определяющий функцию P(w).

) по всей плоскости был равен единице.

Из определения дифференцируемости видно, что многочлен от z является дифференцируемой функцией во всей комплексной плоскости.

Рациональная функция (как отношение двух многочленов) тоже дифференцируема во всей комплексной плоскости, за исключением точек, где ее знаменатель обращается в нуль.

), то функция f (г] равна нулю во всей области D.

2 суммы этих рядов являются функциями, регулярными во всей комплексной плоскости, т.

Но в силу теоремы единственности две функции комплексного переменного z, регулярные во всей плоскости и совпадающие при всех действительных значениях z, совпадают тождественно.

3, мы видим, что интеграл ь г-ге~гdt при а > 0 и b < оо является функцией г, регулярной во всей комплексной плоскости.

Члены ряда 2 -> i ' ~ являются функциями, регулярными о во всей плоскости, за исключением точек z = 0, —1, —2,.

, и ряд равномерно сходится в любой конечной части плоскости, не содержащей этих точек I все члены ряда, начиная с некоторого, не превосходят членов сходящегося числового ряда 2^-г)- Следовательно, сумма ряда о ' ао /___МП J , •— регулярна во всей комплексной плоскости, за

В § 1 мы отмечали, что многочлены и рациональные функции являются функциями, регулярными во всей комплексной плоскости (за исключением, быть может, нулей знаменателя для рациональных функций).

ПОВЕДЕНИЕ ОСНОВНЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ 89 параграфе мы показали, что функции ez, sin г, cosz тоже являются регулярными во всей плоскости.

Поскольку sin z и cos z обращаются в нуль лишь при действительных z, то igz является регулярной функцией во всей плоскости z, за исключением точек z — -^-}-nn (n — целое число), a ctgz — во всей плоскости z, за исключением точек

В результате таких продолжений мы получим функцию Ф (z), отличающуюся от всей аналитической функции F(z) тем, что ее область определения несколько сужена.

регулярна на всей расширенной комплексной плоскости, за исключением точки z= — i, и обращается в нуль только в точке z=-i.

== 1—z1 регулярна во всей конечной плоскости и обращается в нуль только в точках-2=1 и 2= —1, а функция У?

, аналитична во всей конечной плоскости с выколотой точкой?

Вся конечная плоскость является односвязной областью, так что согласно теореме о монодромии функция /(z), аналитическая во всей конечной плоскости, регулярна во всей конечной плоскости.

Совершенно аналогичным образом мы можем определить непрерывную кривую не в конечной части плоскости, а во всей расширенной комплексной плоскости.

г регулярны во всей конечной плоскости.

Функции tgz, clgz, secz, cosecz мероморфны во всей конечной плоскости, так как они являются отношением функций, регулярных во всей конечной плоскости.

Гамма-функция Эйлера Г (z) мероморфна во всей конечной плоскости.

Следовательно, из всей суммы остается одна

Мы будем говорить о задаче разложения функции, меро-морфной во всей конечной плоскости, в ряд простейших дробей.

Первый аспект — это выяснение возможности построения функции, мероморфной во всей конечной плоскости (или даже в некоторой области) и имеющей в заданных точках полюсы с заданными главными частями ряда Лорана (в окрестности этих точек).

Мы покажем, что это утверждение можно перенести и на многие функции, мероморфные во всей плоскости.

Примером функции, однолистной в каждой конечной точке плоскости, но не однолистной во всей конечной плоскости, может служить функция ez.

В заключение приведем два важных результата, лежащих в основе всей теории конформных отображений.

Определенная таким образом во всей расширенной плоскости z дробно-линейная функция является, очевидно, ме-роморфной функцией во всей расширенной плоскости.

Если мы докажем, что ф (z) регулярна во всей окрестности, то это будет означать, что f(z) аналитически продолжается через L, и мы получим утверждение теоремы.

Для этой цели заметим, что ф (z) непрерывна в точках отрезка L (а значит, и во всей окрестности), так как lim f(z)=f(x), lim F(z) = § 4.

Если точка z — a лежит на дуге Lk, то мы выделим регулярную ветвь в плоскости, разрезанной по всей окружности |гг| = 1, за исключением дуги Lk.

Даже записав интеграл в виде интеграла по всей оси, мы не можем применить формулу (3.

Из неравенств для функции g(x) видно, что функция f(x) e~cx — абсолютно интегрируемая по всей оси функция.

4) и из того, что ft> | с |, следует абсолютная интегрируемость функции g(x) по всей оси за исключением какой-либо окрестности точки лг =?

Сверткой функций f(x) и g(x), определенных на всей оси, называется функция (f(x)*g(x))= (мы будем предполагать, что интегралы сходятся при всех х, хотя это и не обязательно).

Пусть функция f(x) еа\х\, а ^ 0, равномерно непрерывна на всей оси х, а функция g(x] на каждом конечном отрезке имеет лишь конечное число точек разрыва, и пусть \f(x}\ea\x\dx < оо, \g(x)\eb**\dx< оо, \b\

Тогда функция (/ (х) * g (х)) еь\*\ равномерно непрерывна на всей оси и

В силу равномерной непрерывности функции/1(лг) на всей оси имеем |/х (х— Далее, так как а^О, a \x — ||^||д;| — 1|||, имеем *) Подробное освещение этого вопроса можно найти в книге: Е.

Докажем абсолютную интегрируемость функции h± (x) по всей оси.

Поскольку любую точку граничной кривой вместе с прилегающим к ней участком этой кривой можно включить в границу какой-либо части области D, то мы доопределяем f(z) и на всей граничной кривой.

Условие равномерной непрерывности (а значит, и ограниченности) у(х)е~ь\*1 на всей оси дает нам у(х) = Се-ах (х>А), у (х) = С' еах (Х<—А).

Мы могли выбрать в качестве контура С границу области, состоящей из всей плоскости с разрезом по отрезку (—i, i).

По этим причинам уже довольно давно стали возникать теории, оправдывающие введение преобразования Лапласа для не интегрируемых по всей оси функций f(x).

Если оригинал является непрерывно дифференцируемой функцией, абсолютно интегрируемой по всей оси, то его изображение отождествим с обычным преобразованием Лапласа.

ОБОБЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 301 из непрерывно дифференцируемых функций, абсолютно интегрируемых по всей оси.

В этом случае пределом последовательности непрерывно дифференцируемых функций, абсолютно интегрируемых по всей оси, может быть любая функция, непрерывная во всех точках оси (и только такая).

Действительно, во-первых, любую непрерывную функцию, абсолютно интегрируемую по всей оси, можно равномерно приблизить непрерывно дифференцируемыми функциями, абсолютно интегрируемыми по всей оси.

Затем для любой непрерывной функции легко строится последовательность абсолютно интегрируемых по всей оси непрерывных функций, равномерно сходящаяся к ней на каждом конечном отрезке.

Пределом последовательности непрерывно дифференцируемых функций, абсолютно интегрируемых по всей оси,

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА в этом случае может быть любая непрерывная на всей оси функция f(x), удовлетворяющая условию \f(x)\ <Ме<*\х\ при каком-либо а < а (и только такая).

Пусть 0^а<а, a f(x) — непрерывная на всей оси функция, для которой |/(л;)|< <Меа1*1.

Так можно строить теорию преобразования Лапласа для функций, интегрируемых с квадратом по всей действительной оси, и для еще более широких классов функций.

Преобразованием Фурье функции f(x), абсолютно интегрируемой по всей оси, называется функция

Последний интеграл в правой части является функцией, регулярной во всей плоскости z, так как в силу условия теоремы g(t) — >- 0 при t — »• + оо быстрее любой степени t.

Поскольку мы рассматриваем лишь кусочно-гладкие кривые, направление внешней нормали определено на всей кривой С, за исключением конечного числа точек.

| является гармонической во всей плоскости, за исключением точки z = t, так как она равна действительной части аналитической при 0<|z —?

Пусть /(0)—периодическая функция с периодом 2л, непрерывная на всей оси, за исключением замкнутого счетного множества точек разрыва.

>) = 0, а если Е отличается от всей границы D лишь на счетное множество точек, то а (г,?

Заметим, что принцип расширения области позволяет оценивать гармоническую меру не только сверху, но и снизу, так как сумма гармонических мер множества Е и дополнения к нему до всей границы области D равна единице.

Отсюда следует существование предела всей последовательности {ФП1с(г, L)\.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 369 всей кривой.

Заметим прежде всего, что функция In г однолистна в кольце, так как она имеет обратную функцию z = ew, регулярную во всей плоскости.

(z)—w] при обходе точкой z всей границы области D.

(z)—w] по всей границе области равно нулю, т.

Мероморфная во всей конечной плоскости функция f(z), не принимающая трех различных значений Y постоянна.

), переводящих в себя область К (которая может быть кругом, полуплоскостью или всей конечной плоскостью).

Интеграл для функции и (г) равномерно сходится в любой конечной части плоскости, так что и (z) непрерывна во всей плоскости.

Подынтегральная функция является гармонической функцией параметра z во всей плоскости, за исключением точек z = — (х + г) е'в <*-t-r> (х>0).




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru