НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Образ"

Таким образом, при р(х) = р(х)/(х— р,) имеем рп(х) = ^„[^„(ij^.

Для исследования качественного поведения решений дифференциального уравнения вида на интервале, где k(x)>0, г(я) >0, удобно ввести вместо осциллирующей функции у (х} функцию v(x) = уЦх) + а(хШх)у'(х)]2, для которой множитель а(х) подбирается таким образом, чтобы области монотонного поведения функции и(х) были плпестяы.

Таким образом, при а+1/2>0, р 4- 1/2 > 0, -1<х<1 имеем

Улучшить оценку можно с помощью равенства (7) следующим образом.

Таким образом, основой для рассмотрения вопроса о возможности разложения (2) функции f(x) по ортогональной системе функций (уп(х)} является замкнутость этой системы.

Таким образом, мы видим, что в силу оценок (14) ряд спУп (* равномерно сходится при a и является, следовательно, непрерывной функцией на интервале (а, Ь) в силу произвольности чисел xit хг.

Требование ограниченности волновой функции г|з(г) и условие нормировки (2) выполняются, если для уравнения _ (4) задача будет поставлена следующим образом: найти все значения энергии Е, при которых на интервале (а, Ь) уравнение (4) имеет.

Выберем точку ха<Ь таким образом, чтобы она лежала правев всех нулей полинома уп(х).

Таким образом, мы показали, что при любых значениях п lim а (х) р (х) W (уп, у) = 0.

Так как в данном случае потенциал выражается простым образом через гиперболические функции, то в качестве вовой независимой переменной естественно выбрать одну не переменных shew, thai, e±ax.

Таким образом, для функций Ф(ф) и 9(0)?

Таким образом, при т 2» О где

Таким образом, уравнение (2) при JA = 1(1 + 1) имеет ограниченные однозначные решения

Таким образом, мы получили в явном виде функции У(0, ф), определяющие зависимость от углов ограниченного решения и *=, R(r)Y(Q, ф) уравнения.

Таким образом, линейные комбинации футсций Y,m(Q?

Таким образом,

Функции dmmi (P) при m < Z можно выразить рекуррентным образом через dimt (Р), взяв л (27) нижние знаки.

Положим в (32) 6 = 6,, ф = ф1 и совершим поворот (ос, (5, f) таким образом, чтобы направление новой оси z совпало с направлением вектора г2.

Как было показано в § 3, диф-ференциалыюе уравнение для классических ортогональных полиномов имеет решения вида где контур С выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось 82 условие o"+1 (*) р (s) („ _ z)«+2 = 0, где s,, s2 — концы контура.

С помощью формулы Родрига для полиномов yn(z) полученное равенство можно записать следующим образом: h

Таким образом, все особенности второго решения ()n(z) определя-• ются поведением функций Qt,(z) и l/p(z).

Функции Вг(/>, q), Г(я, г), Ф(г) определяются следующим образом:

Таким образом, при z > О

=0 можно представить в виде vt(x) = Ду(х), где у(х) — некоторое решение уравнения (3), которое выражается через Vi(x) следующим образом:

Подобным же образом для функции vn(x) = Д"1/(а;) можно получить разностное уравнение гипергеометрического типа a(x)&.

Таким образом, полиномиальные решения уравнения (3) определяются формулой (22) однозначно с точностью до нормировочного множителя Вп.

Таким образом,

Таким образом, полиномы h(n N °"~N ®.

Подобным же образом можно получить (526) при любых комплексных х, р, N, а также следующие соотношения: h™> (х, N) = h(n-N'a+&+N (x-a-N,- а), (52в> т<™> (х) = р-*т%'™ (- у - х), (52г> №(x,N) =?

1 Таким образом, для полиномов Хана /4,а'р) (х) дуальные соотношения ортогональности приводят к дуальным полиномам Хана, ортогональным на неравномерной сетке (см.

Таким образом, мы получили следующее предельное соотношение: " (57)

Таким образом, из соотношения (63) получаем dlmm, (В) = С /plW» (x, N), (65) где х = I — т', п = 1 — т.

Действительно, если функция x(s) выбрапа таким образом, что соотношения (4), (5) имеют место, то x(s + h)—x(s) x(s)-x(s-h) - 1 {?

Т*акйм образом, при разностном дифференцировании уравнение (9) сохраняет свой вид, т.

Подобным же образом для функции.

Таким образом, полиномиальные решения уравнения (9) у = *жу„[х($)] определяются формулой (64) однозначно с точностью до нормировочного множителя Вп.

Таким образом, функция Aj/n(s — l/2)/Aa;(s — 1/2), являющаяся полиномом « — 1-й степени относительно x(s), определяется формулой Родрнга, в которой следует заменить p(s) на p(s) == pi(s — 1/2), o(s) на o(s) = o(s — 1/2_).

По индукции аналогичным образом можно доказать, что при выполнении условия (75) для полиномов vhn(s) имеют место следующие соотношения ортогональности:

Таким образом, 5n = — Antn_lSn + CnSn-n откуда *„_!

Таким образом, возможны два случая:

Функции о[д;(х)] и i[x(s)] ^ T(S) с помощью (22), (86) можно в обоих случаях выразить явным образом через o(s):

Полиномы a[x(s)] и T[J(S)] можно, согласно (22), (102), выразить через o(s) следующим образом:

Таким образом, после изучения гл.

Логическая схема построения теории классических ортогопаль» пых полиномов естественным образом переносится па случай, когда дифференциальное уравнение заменяется разностным.

Подобным же образом вычисляются основные характеристики для дуальных полиномов Хана.

Аналогичным образом для дуальных полиномов Хана при Ъ -*• «о можно получить асимптотическую формулу

Таким образом,

Кроме того, контур С может уходить в бесконечность таким образом, что Im s -*• +<».

Эти функции связаны между собой, согласно (14), следующим образом: - Jv(z)=[H™(z) + H™ «]/2.

Таким образом, h=0

Таким образом, обе части равенства (12) будут аналитическими функциями каждой из переменных z, v при произвольных значениях v и largzl < л: По принципу аналитического продолжения соотношение (12) будет справедливым во всей указанной области изменения переменных z, v.

Таким образом, мы показали, что функция uv (z) = j exp { iz sin ф — i vф} йф (3) с действительно является решением уравнения Бесселя при выполнении условия exp (zz sin ф — ivq>} (z cos

В качестве контура С s интегральном представлении для uv(z) можно выбрать, например, контур, концы которого уходят в бесконечность таким образом, что

Таким" образом, г28Шф — ^ф}йф.

Таким образом, мы нашли класс преобразований, не меняющих тип уравнения, — это преобразования уравнения (1) с помощью замены u =

Контур С, как было показано в § 16, можно выбрать таким образом, чтобы его сдвиг на величину if, меньшую я, не менял значения интеграла.

Таким образом, окончательно приходим к следующей формуле:

Таким образом, ап (г, р) « -T J v+n (r) gn (Р) =

В случае, когда k(x) > 0, г(х) < 0, аналогичным образом получим

Таким образом, возвращаясь к старым переменным, получим, что в случае, когда в уравнении (1) k(x) = (х— aYnkt(x), г(х) = (х — йЭ'гДз:), 1 — т + 2>0, а функции &,(.

Таким образом, в данном случае существуют четыре возможных вида полилома лЫ.

Аналогичным образом можно получить приближенное выражение для полиномов Лагерра 1% (х) при х > 0 и достаточно больших п.

Таким образом, при [/_1/3 (I) + /1/3 (I)].

При этом с2 = (— 1)"сь Таким образом, в квазиклассическом приближении значения энергии дискретного спектра Е^Еп (п = 0, 1,.

Аналогичным образом после замены и — (p(z)y при ф(г) = (1 — z)1"01"^ приходим к уравнению (4) при а' = ч — а, {}' = f — Р, l' == "f.

Подобным же образом для вырожденного гипергеометрического уравнения zw" + (f-z)u'-au = 0 (6) по частному решению ut(z) = /(a, f, z) можно построить решения u.

Аналогичным образом для решений уравнения (6) приходим к следующим видам контуров: s = zt, Re 7 > Re a > 2, e = z(l + «), Rea>2,

Покажем, что коэффициенты Ct = C,(z) можно выбрать таким образам, чтобы рассматриваемая комбинация была равна нулю.

Аналогичным образом выводятся рекуррентные соотношения для вырожденных гипергеометрических функций F(a, 4, z) с помощью (14):

От ограничения Re а > 0 можно избавиться следующим образом.

Функция //v(z) при Cv= 1/Г(— v) называется функцией Эрмита*), *) Нормировочный коэффициент Cv выбран таким образом, чтобы аналитическое продолжение функции //v(z) но параметру v совпадало с полиномом Эрмита #n(z) при v = п (см.

Если бы функция i>i(z) являлась производной некоторого решения y(z) уравнения (1), то эти функции были бы связаны следующим образом (см.

Таким образом,

Аналогичным образом можно получить функциональные соотношения для вырожденных гипергеометрических функций.

Таким образом, -Y+l.

Подобным же образом для функции vn(z) — г/'"Чг) можно по индукции получить уравнение гипергеометрического типа

Ф(а, 7,2) = F-)JF(a,7,z) и раскрывать неопределенности по правилу Лопиталя при f -*- —re таким же образом, как это было проделано для цилиндрических функций Ь '(,' (z) при v = п (см.

Таким образом, в рассматриваемом случае в качестве линейно независимых решений гипергеометрического уравнения можно выбрать функции F(a, (5, га, z), F(a, P, a+ ji — ra+ 1,1 — z).

) эта неопределенность раскрывается следующим образом: <а)л [я|з (а + А) — яр (а — га + 1)] |а==_т =

Таким образом, с помощью рассмотренных рассуждений можно построить полную совокупность линейно независимых решений для гипергеометрического и вырожденного гипергеометрического уравнений при любых значениях параметров, входящих в эти уравнения.

Полиномы Хана 7in (х) подобным же образом можно выразить через обобщенные гипергеометрические функции (см.

Подобным же образом получим связь полиномов Лагерра и Шарлье:

Таким образом, уравнение Уиттекера имеет частные решения - А + Ц, 2ц + 1, которые называются функциями Уиттекера.

Таким образом, о •/^rp^n-v-i

Таким образом, полиномиальные решения уравнения (1) определяются формулой (12) однозначно с точностью до нормировочного множителя.

LiUi • L2u2, M iM2(uiU2) уравнение Lu = 0 можно переписать следующим образом:

Криволинейную систему координат следует выбирать таким образом, чтобы:

Аналогичным образом, если искать решение уравнения (5) в виде то для функций Ш|), У(т]), 1У(ф) получим уравнения

Таким образом, нам остается найти решения уравнений (9), (12).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: найти нетривиальное решение уравнения (4) с граничным условием (5).

Таким образом, для того чтобы решить краевую задачу, следует потребовать, чтобы произвольную функцию переменных х, у, z (в данном случае и|(и0, du/dil(_0) можно было разложить в ряд по собственным функциям vn(x, у, z), т.

Таким образом, собственные функции, задачи Штурма — Лиу-еилля (6), (7), соответствующие различным собственным значениям, ортогональны на интервале (а, Ъ) с весом р(х).

Таким образом, ^> min JM, (19) х<=(а,Ь> Р(г)

Как было показано в § 9, эту задачу можно решить следующим образом.

Таким образом, полная энергия электрона Е (см.

Заметим, что условию (4) теоремы можно удовлетворить, в частности, если выбрать концы контура С таким образом, чтобы функция ov+i(s)p(s)/(s — z)v+2 равнялась нулю на концах контура С, т.

Шаровые спиноры связаны с функциями Yim(Q, ср) следующим образом*):

Таким образом, с помощью (57), (60) получаем \ i m> =

, п) подбираются таким образом, чтобы формула (1) была точной для произвольного полинома степени 2п— 1.

Таким образом, полином рп(х) ортогонален к любой степени, меньшей п, и, следовательно, с точностью до постоянного множителя совпадает с полиномом п-й степени />„(ж), ортогональным с весом р(ж) на интервале (а, Ь).

Покажем, что можно выбрать коэффициенты At = At(z) таким образом, чтобы рассматриваемая комбинация была равна нулю.

Размеры каждого участка подбирались таким образом, чтобы средняя квадратичная ошибка не превышала 1%.

Гамма-функция ГЫ и бета-функция B(ii, v) определяются следующим образом;

Таким образом, функциональные соотношения (4) — (6) для гамма-фупкции доказаны.

Для этого предварительно преобразуем интегральное представление (19) для^Ы следующим образом:

Таким образом, при largzl <л — е h-l где 7?

Аналогичным образом из (6а) находим D = (ln2n)/2.

Если в секторе'—Oj < < 0 < 0i возможны значения |9|>п, то аналогичным образом можно доказать, что /'',7(г) будет аналитическим продолжением функции Fe(z), если 10 — 91 < п.

Таким образом, совокупность функций

Таким образом, pv.

Действительно, соотношение (7) можно интерпретировать следующим образом: интегральное представление для первой производной функции гииергеометрического типа можно получить из исходного интегрального представления заменой v на v — 1, p(z) на pt(z) = o(z)p(z) и умножением на до, , v — 1 „ нолнительныи множитель т Ч -- » — ° • Отсюда ясно, чтотле/4h)

При вращении системы координат, определяемом углами Эйлера а, р, 1, сферические функции У|т(9, ф) преобразуются следующим образом:

Таким образом, в гл.

Таким образом, функция u(s) является полиномом гипергеометрического типа.

Поэтому полиномы j/n(z) связаны с полиномами Лагерра следующим образом:

Аналогичным образом рассматриваются остальные возможные.

Для полинома qn(x~) подберем постоянную с„„ таким образом, чтобы коэффициент при старшей степени полинома qn(x) — — с„„рп(х) был равен нулю, т.

Таким образом, зная коэффициенты а„, 6„ и квадрат -нормы dn произвольных ортогональных полиномов рп(х), можно последовательно определить эти полиномы.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru