НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Оператор"

Тогда, применяя оператор Лапласа

С другой стороны, при таком вращении оператор Лапласа сохраняет свой вид, т.

**) Говорят, что разностный оператор Lh аппроксимирует в точке х дифференциальный оператор L с порядком точности m относительно шага h, если

Прежде чем переходить к изучению решений уравнения (3), рассмотрим ряд свойств операторов Д и v.

Для доказательства применим оператор Д к обеим частям уравнения (3):

Для построения теории полиномиальных решений уравнения (3) естественно потребовать, чтобы разностные операторы, соответствующие производным dy/dx и d'y/dx2, переводили любой полином у = уп(х) при x = x(s) в полиномы соответствующих степеней относительно x(s).

Так как о(а;) и т(аО — полиномы соответственно не выше второй и первой степени, то оператор, стоящий в левой части уравнения (3), в самом деле переводит любой полином у = г/„(ж) в некоторый полином той же степени относительно x(s).

Применяя к обеим частям этого равенства оператор -дд.

Применяя к обеим частям этого равенства оператор Д/ДяЫ, 132 т

Оператор Л(/1) переводит лю(>ой полином степени п относительно в полином степени п — k относительно xk(s).

*) Впрочем, существование полиномиального решения уравнения (1) вытекает из того факта, что оператор o(z)d2/<2z2 + t(z)d/dz переводит любой полином степени п в поливом той же степени.

Lu = 0, (1) где оператор L представляется в виде

Операторы Li, MI действуют лишь на одну группу переменных, от которых зависит функция и, a L2, Мг действуют на оставшиеся переменные.

Под произведением операторов подразумевается результат их последовательного применения.

При этом предполагается, что все операторы L,-, Mt (i = 1, 2) являются линейными, т.

В данном случае где Е — единичный оператор.

Для операторов вида (2) частное решение уравнения (1) можно искать в виде и = Ц4и2, где функция Ui зависит лишь от первой группы переменных, а иг от остальных переменных.

В силу линейности оператора L линейная комбинация решений, т.

Мы рассмотрели общие черты метода разделения переменных для решения уравнений вида Lu = 0, где L — некоторый линейный оператор.

— оператор Лапласа ) методом разделения переменных.

При этом свойства ортогональности собственных функций и вещественности собственных значений основываются на свойстве самосопряженности оператора L для класса функций, имеющих непрерывную вторую производную па интервале (а, Ь):

Если функции /, g удовлетворяют однородным граничным условиям как при х = а, так и при х = Ь, то оператор L будет самосопряженным за счет того, что

Как известно из курса квантовой механики, в тех случаях, когда гамильтониан физической системы не меняется при поворотах системы координат, оператор квадрата момента количества движения и оператор проекции момента на определенное направление (например па ось z) коммутируют с гамильтонианом системы.

Это означает, что существуют состояния, для которых волновая функция системы я|э является собственной функцией коммутирующих друг с другом операторов квадрата момента и проекции момента на ось z.

В связи с этим рассмотрим более подробно свойства этих операторов.

Обозначим оператор момента количества движения и его проекции па координатные оси в единицах постоянной Планка Ti соответственно через J и Jx, /„, Jz.

Операторы Jx, Jy, /t удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям;

Из этих соотношений вытекает, что операторы /2 = /* + 3\ + J\ и Л коммутируют и имеют общую систему собственных функций i|)jm, которые удовлетворяют уравнениям ^jm, (44) , m±1.

Пусть физическая система состоит из двух подсистем, для которых операторы момента количества движения J( и J2 коммутируют, и состояния подсистем описываются волновыми функциями ^т^ %зтг В этом случае J = Ji + J2 — оператор полного момента системы, и для него справедливы коммутационные соотношения (43).

Собственными функциями оператора У2 = J,t + Jtlr соответствующими собственному значению т = иг, + тг, являются произведения 1ф^т1'ф;2т2.

Для построения функций Ф,т требуется составить такую линейную комбинацию произведений ^71тп1%2т2 при фиксированном значении т = т^ + т2, которая была бы собственной функцией оператора J2.

Так как оператор ]г коммутирует с операторами J\ и J\, то в этой линейной комбинации числа /i, jt можно считать фиксированными, т.

Применяя к обеим частям (46) оператор J± = /i± + Jz±i приходим к следующим рекуррентным соотношениям для.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru