НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Уравнение"

Для исследования качественного поведения решений дифференциального уравнения вида на интервале, где k(x)>0, г(я) >0, удобно ввести вместо осциллирующей функции у (х} функцию v(x) = уЦх) + а(хШх)у'(х)]2, для которой множитель а(х) подбирается таким образом, чтобы области монотонного поведения функции и(х) были плпестяы.

Для этого вычислим производную v'(x), используя дифференциальное уравнение для функции у(х): v'(x) = 2уу' + а'(хЮе(х)у'\* + 2а(хШх)у'Шх)у'}' = = a'(xttk(x)y']2 + 2yy'll - а(хШх)г(х)].

Полиномы У — уп(х) удовлетворяют дифференциалы гому уравнению при АЫ =о(аг)рЫ, r(x)=Kp(x), K = Ktl (п?

С помощью дифференциального уравнения для полинома у(х) находим v'(x)= 'V-™ [У' (*)!

Будем исходить из обобщенного уравнений гипергеометрического типа ,.

§ 1) переводится в уравнение для классических ортогональных поли» номов а(х)у" + i(x)y' + Ху = 0.

Напомним связь коэффициентов уравнений (3) и (4): тЫ = i(x) - 2л Ы, оЫ = Ыя) - д(ж), 'VJ //\1 /1\/\ q(x) = яг(а:) + л(х)[т(ж) — о (я)!

Здесь я (ж) — полипом не выше первой степени, входящий в дифференциальное уравнение ф'ЫАрЫ -= п(х)/а(х), которое определяет функцию ф(х).

Уравнение (3) удобно перебрать в виде а = 0.

С помощью дифференциального уравнения (5) находим i i ч ' (х)

Имеем и(х) =<р(х)у(х), где •<р(х) — решение дифференциального уравнения

Доказательство проведем методом математической индукции, предполагая справедливость неравенства (12а) для полиномов и р(а+2,р+2) (х) Из дифференциального уравнения для полиномов Якоби и формулы дифференцирования (5.

Разностное -уравнение гипергеометричепкого тип» (101).

С помощью дифференциального уравнения ' + ЬпРУп = 0 б!

Для этого дифференциальное уравнение для классических ортогональных полиномов удобно предварительно привести к простейшему виду (см.

При этом собственные функции исходного дифференциального уравнения перейдут в собственные функции и =• un(s) уравнения (18).

Если для некото"s 'рой функции /(s) интеграл J /2 (s) ds сходится, то разложениеофункции /Ы по собственным функциям дифференциального уравнения (18) в интервале 0 < s <.

Рассмотрим решение уравнений гипер-геометрического типа о(х)у" + тЫ/ + А,0 = О (1) при различных значениях К для случая, когда функция р(х), являющаяся решением уравнения (ор)' = тр, ограничена на некотором интервале (а, Ь) и удовлетворяет на этом интервале условиям, налагаемым на функцию р(х) для классических ортогональных полиномов.

Как было показано ранее, простейшими решениями уравнения (1) являются классические ортогональные полиномы уп(х), которые соответствуют значениям

Разностное уравнение на неравномерной сетке (125).

Оказывается, что классические ортогональные полиномы выделяются среди всей совокупности решений уравнения (1), соответствующих различным значениям Я, не только своей простотой, но также и тем, что они являются единственно возможными нетривиальными решениями уравнения (1), удовлетворяющими требованиям ограниченности и квадратичной интегрируемости функции г/(а:)Ур(х) на интервале (а, Ъ).

Чтобы найти волновые функции i|)(r), описывающие эти состояния, и соответствующие им уровни энергии Е, решают стационарное уравнение Шредингера - где Ъ — постоянная Планка, и, — масса частицы, U = U(t) — потенциальная энергия, г — радиус-вектор.

Уравнение Шредингера для многих задач квантовой механики, которые можно решить аналитически с помощью метода разделения переменных, приводит к обобщенным уравнениям гипср-геометрического типа (см.

Так как уравнение (3) не имеет особенностей при любом хе(а, Ь), то функция и(х) будет непрерывной дифференцируемой функцией па интервале (а, Ь).

Для формулировки дополнительных ограничений, налагаемых па функцию и(х) на концах интервала (а, 1>), запишем уравнение (3) в самосопряженном виде: (apu'Y + ^-pu-^0.

Здесь функция р(х) > 0 является решением дифференциального уравнения = 7р.

Требование ограниченности волновой функции г|з(г) и условие нормировки (2) выполняются, если для уравнения _ (4) задача будет поставлена следующим образом: найти все значения энергии Е, при которых на интервале (а, Ь) уравнение (4) имеет.

\и(х) у р(я)| < с (с — некоторая постоянная) и(если а, Ь конечны, то последнее условие может быть опущено)* Как было показано в § 1, уравнение (3) с помощью замены и.

= у(х)у может быть приведено к уравнению гипергеометриче-ского типа

8« 67 где функция р(ж) удовлетворяет дифференциальному уравнению (ор)' «=• тр,' а функция т(х) связана с функциями т(ж) соотношением

Основное свойство разностных уравнений гипергеометрического типа на неравномерных сетках (130).

Как было показано в § 1, уравнение (3) может быть приведено к (6) несколькими способами.

Для большинства задач квантовой механики, допускающих аналитическое решение, среди возможных способов приведения уравнения (3) к (6) существует такой, при котором функция р(х) является ограниченной па интервале (а, Ь) и удовлетворяет на этом интервале условиям, налагаемым на функцию р(х) для классических ортогональных полиномов.

Указанное замечание позволяет упростить выбор способа приведения уравнения (3) к (6), который сводится в результате к такому выбору постоянной k и знака перед корнем в (1.

Пусть функция у = у(х) — решение уравнения (1), а функция р(х), являющаяся решением уравнения (ор)' =* = тр, ограничена на некотором интервале (а,Ь) и удовлетворяет на этом интервале условиям, налагаемым на функцию р(х) для классических ортогональных полиномов.

Умпожим первое уравнение на г/„(ж), второе па у(х, А).

Проиллюстрируем применение доказанной теоремы для решения ряда задач - квантовой механики, когда уравнение Шредипгера может быть приведено к обобщенному уравнению гипергеометрического типа.

Уравнение Шредипгера для волновой функции i)i(x) гармонического осциллятора имеет вид

Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение.

Тогда получим уравнение г|)" + (2е - 62)г|> = О.

Это уравнение является обобщенным уравнением гипергеометрического тина, для которого 0(1) = 1, т(|) = 0, о(|) = 2е - |2.

Приведем уравнение для функции 1|Д?

) к уравнению гипергеометрического типа, полагая ij>(?

), где ф(|) является решением уравнения

Собственные значения энергии определяются из уравнения

Рассмотрим модельную задачу о нахождении собственных значений энергии Е и собственных функций для одномерного уравнения Шредипгера — ~\f + U(x)^'=E^, -oo<.

Для упрощения вида уравнения воспользуемся заменой s = thcu:*).

В результате прикодим к обобщенному уравнению гипергеометрического тина для которого а = — 1, 6 = 1, аЫ-1-s2, тЫ = -2я,

Приведем уравнение дли функции ФЫ к уравнению гипергеометрического типа a(s)y" +t(s)j/' + X,i/ = 0, полагая ФЫ =>

Из четырех возможных видов полинома n(s) следует выбрать такой, для которого функция t(s) = T(S) + 2n(s) *) Во многих модельных задачах кпатгтопой механики, допускающих решение в аналитической форме, уравнение Шредингора приводится к уравнению с рациональными коэффициентами с помощью естественно возникающей замены исзаиисимои переменной, которая связана с видом U(x).

Собственные значения энергии определяются из уравнения

Они возникают, например, при решении уравнения Лапласа в сферических координатах.

Подставляя это выражение и уравнение Лапласа, получим г*ЛгН(г) ^ Л0|фУ(0.

Уравнение (2) будем решать также методом разделения переменных, полагая Y(Q, ф)=6(0)Ф(ф).

Перейдем к решению уравнения (4) при v = тг.

Если положить cos 0 = х, то получим обобщенное уравнение гипергеометрического типа (см.

Приведем уравнение (5) к уравнению гипергеометрического типа, полагая в(х) = q>(x)y(x), где cp(z) — решение дифференциального уравнения ф'/ф = п(х)/а(х) (п(х) — полином не выше первой степени).

Отсюда видно, что функции Q,m(x) при m < 0 будут по-прежнему являться решениями уравнения (5).

Таким образом, уравнение (2) при JA = 1(1 + 1) имеет ограниченные однозначные решения

1) уравнение Эйлера ггП" +2гД'- -1(1+ 1)Д = 0, общее решение которого имеет вид где с,, сг — постоянные.

Следовательно, частными решениями уравнения Лапласа являются функции г'У,,„(0, ф) и -щ Y i,» (0, ц), первые из которых, применяются при решении внутренних, а вторые — пои решении внешних краевых задач для шаровой области.

Решая уравнение Лапласа Аи = 0 в сферических координатах, мы нашли ограниченные при г -*• 0 частные решения этого уравнения

Однородный полином, удовлетворяющий уравнению Лапласа, называется однородным гармоническим полиномом.

Квазиклассическое приближение для решений уравнений второго порядка (189).

С помощью соотношений (26) и условия dlmmr (0) = 8тт, , вытекающего из (24) при р = Ог можно однозначно определить все функции rfmm» (P), если рассматривать соотношение (26) как линейное дифференциальное уравнение относительно ^mm'(P), считая функцию c?

Уравнения гипергеометрического типа и их решения.

Преобразование уравнений гипергеометрического типа в уравнения того же типа (205).

Используем теорему сложения (33) при решении первой внутренней краевой задачи, для уравнения Лапласа в шаровой области;

2 (2* + 1) *'^i ((*) = 2 /1 2 (' + l)^"1'2^; (И то и, следовательно, решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа в шаровой области представляется в виде § 11.

Как было показано в § 3, диф-ференциалыюе уравнение для классических ортогональных полиномов имеет решения вида где контур С выбирается таким образом, чтобы удовлетворялось 82 условие o"+1 (*) р (s) („ _ z)«+2 = 0, где s,, s2 — концы контура.

Совокупность решений гипергеометрического и вырожденного гипергеометрического уравнения (212).

Из асимптотического представления (7) видно, что функции второго рода Qn(z) и классические ортогональные полиномы i/n(z) имеют различное асимптотическое поведение и поэтому являются линейно независимыми решениями дифференциального уравнения для классических ортогональных полиномов (за исключением случая и = 0, а + Р+1==0 для полиномов Якобы P),ai|J) (z)).

J =1 ^ _ где х„ = т' Ч -- г — °"- При п «= 0 это представление приводит к следующему дифференциальному уравнению для функции (?

Из уравнения (10) легко получить удобное интегральное представление для функции (?

Разностное уравнение гипергеометрического типа.

Развитая ранее теория полиномиальных решений дифференциального уравнения гипергеометрического типа " Аг/ = 0 (1) (а(х) и т(ж) — полиномы не выше второй и первой степени *), Я, — постоянная) допускает естественное обобщение на случай, когда дифференциальное уравнение заменяется разностным.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда дифференциальное уравнение (1) заменяется разностным уравнением :_ + h)-y(x) y(x)-y(x-h)-\ h которое аппроксимирует уравнение (1) па сетке с постоянным шагом hx = h со вторым порядком точности относительно Л**).

Линейной заменой независимой переменной х па hx, сохраняющей тип уравнения, всегда можно добиться того, чтобы в уравнении (2) шаг сетки был равен единице (Д.

Это уравнение можно переписать в виде а (х) Д V*/ (х) + i> (Д + V) у (х) + Ку (х) = 0, (2а) где Д/Ы = /(л + D- /Ы, Vj(x) = /(ж) - /(ж - 1).

r), то (2а) эквивалентно уравнению = О, (3) где с(х) =?

Прежде чем переходить к изучению решений уравнения (3), рассмотрим ряд свойств операторов Д и v.

т (*)• Установим ряд свойств решений уравнения (3), аналогичных свойствам решений уравнения (1).

Докажем, что функция Vi(x) => "= &у(х) удовлетворяет разностному уравнению вида (3).

Для доказательства применим оператор Д к обеим частям уравнения (3):

Используя (6), (4), это уравнение можно привести к виду o(x)AVy1U) + -^ЫДу.

Так как тДа;) — полином не выше первой степени, а щ пе зависит от х, то (8) будет уравнением того же вида, что и (3).

Подобным же образом для функции vn(x) = Д"1/(а;) можно получить разностное уравнение гипергеометрического типа a(x)&.

Очевидно, уравнение (9) при ц„ = О имеет частное решение vn(x) = const.

, п— i)t Действительно, уравнение для функции vh(x)

Найдем связь функций рп(х) и р(ж), представив уравнение (16) в виде

Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных.

Используя связь функций рпЫ и р„+1(ж), уравнение (14) можно записать в виде простого соотношения между функциями va(x) и vnfi(x).

Выведем свойство ортогональности полиномиальных решений разностного уравнения (3).

С этой целью запишем уравнения для полиномов уп(х) и ут(х) в само-» сопряженном виде:

Умножим первое уравнение на ут, второе па у„ и вычтем из первого уравнения второе.

Полиномы ijn(x), для которых интервал (я, 6) находится на вещественной оси, а функция р(х) удовлетворяет уравнению (15) и граничному условию (26), будем называть классическими орта-гоналъными полиномами дискретной переменной.

Полиномы &у„(х) удовлетворяют уравнению, которое получается из уравнения для г/п(я) заменой р(х) на p4(j;) «=о(ж+ i)p(x+ 1) = [т(а;) + а(х)]р(х) и заменой Я, на щ =• = А, + т'.

Классические ортогональные полиномы, сферические и гинергеометри-ческие функции, а также функции Бесселя рассматриваются с единой точки зрения как частные решения возникающего во многих задачах математической физики и квантовой механики дифференциального уравнения определенного типа.

в,<Ь-2, иг уравнения (15), записанного в виде р (х) а (ж + 1) ' и явного вида функций р,,Ы будет следовать, что р„Ы>0, a^x^b-k-l, fc = 0, I,.

Так как линейная замена независимой переменной х на х + а не меняет типа уравнения, то при а(х) 3* is* const всегд^ можно добиться того, чтобы о(0)=0, т.

Для этого разностное уравнение h[a(x)ph(x)Vvhn(x)} + (,i»,npAU)iv(z) =0, где p,hrl= fift (К) |х-*.

Краевые задачи для уравнения Бссселп (255).

Тогда с помощью уравнения для pn-Дх) и суммирования по чл-> стям получим г=2[ЛпТ„-1(г{) + Яп]Д - -2 a to + 1) PB-I fa + 1) Aj^nTn-i И) + ^n) -t- CnSn-;

уравнения тЫ + (ft - 1)о'Ы + (/с - 1)т' Ч- (Л - 1)2а"/2 = 0.

Для этого разностное уравнение (15) перепишем в виде

Если функции pi(x) и рг(о:) являются решениями уравнений то решением уравнения герц /(ж) •= fi(x)fa(x) будет-функция р(х) — р,( — • /Да:)//2(х) — функция р(х) = рДжУрзОс).

Так как правая часть уравнения (35) является рациональной функцией, то его решение можно выразить через решения следующих разностных уравнений: р(х + 1)/р (ж) = v + *.

Легко убедиться, что частным решением уравнения (38) является функция р(х) = ч*.

Уравнение (35) в этом случае имеет вид р(* + 1) _ (« + Р -М) (ДГ - 1 - а) р (х) > + 1) (ЛГ -(- а - 1 - *) •

Решением этого уравнения будет функция

При этом вес р(х) будет переходить с точностью до постоянного множителя в вес для полиномов Якоби (1 — s)a(l + s)B- Решением уравнения (35) при а(х) = z(fi — *), а(х) +т(г) = (х + -j2) (]V— I — z) будет функция _ Г (Т» ~ ж) Г (^ + Т2) = Г [Лг (1 - «)/2 + YI '- Щ Г [^ (1+ *)/2 + YJ Р^= Г(г+1)Г(ЛГ-1) • Г [Л' (1 - s)/2] Г [JV (1

Решением уравнения (35) в этом случае будет функция ,.

Поэтому полиномы ^"JV~a'~A'~p) (x) и h{n'^(x) будут удовлетворять одному и тому же разностному уравнению.

Для решений этого уравнения с помощью обобщения формулы Родрига найдено интегральное представление, из которого получены все основные свойства специальных функций.

Уравнение (35) при этом будет иметь следующие решения:

Для доказательства достаточно воспользоваться разностным уравнением для полиномов Хана Уп (х) = ЛЙ*'Р) (х, N): х) + [(?

р на а это' уравнение сохраняет свой вид.

Так как при такой замене полином уп(х) остается полиномом той же степени, то в-силу единственности полиномиальных решений для разностных уравнений гипергеометрического типа приходим к соотношению

Из разностного уравнения для полиномов Хана о помощью ра-ленств

Тогда уравнение (3) для полиномов Лп (х)= u(s) примет вид

Совершенно аналогично, полагая в уравнении для полиномов Мейкснера у(х) = ii(s), x = s/fe, h = I — ц, приходим к разностному уравнению, которое при h ->- 0 переходит в дифференциальное уравнение su" + (Y-s)

Полиномиальные решения этого уравнения имеют вид?

В соответствии с этим в уравнении для полиномов Кравчука положим x — Np + l/2Npqs, у(х) — иЫ, Л=1/У2Л^д.

Тогда уравнение для полиномов Кравчука примет вид * (« + *)- 2" («) + «(«-*) ru + 2wu (s) = О,

При N -*• оо это уравнение формально переходит в дифференциальное уравнение и" - 2su' + 2ив = О, полиномиальными решениями которого являются полиномы Эрмита Hn(s).

Разностное уравнение на неравномерной сетке.

В § 12 было рассмотрено обобщение теории полиномиальных решений уравнения гипергеометрического типа

1-Лу-0 (1) на разностное уравнение (ж + fe)—У (а) У(х) — у (х — Ш А lA + которое аппроксимирует уравнение (1) на сетке с постоянным шагом Дх = h.

Эта теория с помощью замены независимой переменной x*=z(s) допускает дальнейшее обобщение на случай, когда дифференциальное уравнение (1) заменяется разностным уравнением на некотором классе сеток с переменным шагом Да; = a;(s + h) — x(s):?

Уравнение (З) аппроксимирует (1) со вторым порядком точности •относительного шага h, в чем нетрудно убедиться, разлагая функции x(s±h), x(s±h/2), y(s±h) по степеням h с помощью формулы Тейлора.

Для построения теории полиномиальных решений уравнения (3) естественно потребовать, чтобы разностные операторы, соответствующие производным dy/dx и d'y/dx2, переводили любой полином у = уп(х) при x = x(s) в полиномы соответствующих степеней относительно x(s).

2 2 2 ; по индукции легко доказать, что условия (4), (5) будут выполнены, если: а) функция x(s~) удовлетворяет разностному уравнению вида о, р — некоторые постоянные; б) функция [x(s + h) — x(s)]2 является полиномом не выше второй степени относительно x(s + Л/2).

Для исследования решений уравнения (3) и выбора функций x(s), определяющих сетку, удобно воспользоваться заменой s на hs, в результате которой (3) переходит в уравнение того же вида с шагом ft = 1 по переменной s: где

В частности, уравнение (8) принимает вид (8а)

Для дальнейших упрощений удобно воспользоваться тем, что уравнение (9) сохраняет свой вид при заменах x(s) на Ax(s) + В, s на s + C.

При сс-^1 заменой x(s) на x(s) + р/(1 — а) уравнение (8а) можно привести к виду _ (8б) 127

Общее решение этого уравнения при а ^ 1 имеет вид где д,, #1 — кораи уравнения q* - 2aq + 1 = О, (Ю)?

С помощью замен x(s) на 4a;(s) + B, s на s + C, не меняющих вида уравнения (9), выражение для a;(s) при а ^ 0 можно привести к следующим каноническим видам:

Уравнение (8а) при ос = 1 имеет решение вида x(s) = as2 + bs + о, где а = 4^, Ь, с — произвольные периодические функции с периодом, равным 1/2.

Подставляя (14), (15) в (6а), (7а), приходим к уравнениям для Ап, Сп:

Это линейная однородная система разностных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, которая имеет частные решения вида An — Aqn, Cn — Cqn, где [CJ — собственный вектор матрицы системы ( 2 ] , q — собственное значение.

, то решение разностных уравнений для А„, Сп имеет вид

В частности, с помощью предложенного метода можно найти решения тех линейных дифференциальных уравнений второго порядка, Которые обычно решаются методом Лапласа.

Для построения тббрйй СПвЦИаЛьНЫХ функций применяется минимальный математический аппарат: от читателя требуется владение лишь основными фактами теории обыкновенных дифференциальных уравнений и теории функций комплексного переменного.

Основное свойство разностных уравнений гипергеометрического типа на неравномерных сетках.

решения разностного уравнения (9) обладают простым свойством, аналогичный соответствующему свойству решений уравнения (1): функция i>,(s) •= АуЫ/ДяЫ удовлетворяет уравнению вида (9) с заменой x(s) на яДх) = x(s + 1/2);

Уравнение (26) будет иметь тот же вид, что и (9), если мы покажем, что где T,(^i) и аДа:,) — полиномы соответственно не выше первой и второй степени.

Т*акйм образом, при разностном дифференцировании уравнение (9) сохраняет свой вид, т.

При доказательстве удобно исходить не из (9), (20), а из эквивалентных им уравнений (21), (24).

Поэтому из (33) вытекает, что функция j/(s) действительно является решением уравнения (21), что я требовалось доказать.

Используя метод математической индукции, можно получить, что функция где xh(s) =x(s + /с/2), v0(s) —•• y(s), удовлетворяет уравнению ~ , / м A \Vvk(

Уравнение (34) эквивалентно уравнению

Эти системы уравнений являются линейными однородными системами разностных уравнений с постоянными коэффициентами.

Рассмотренное свойство разностного уравнения (9) позволяет построить семейство частных решений этого уравнения, соответствующих определенным значениям К.

Действительно, уравнение для: функции vn(s) при (г„ = 0 имеет частное решение vn(s) = с.

Из уравнения (34) имеем (s -

Чтобы получить явное выражение для y(s) в этом случае, запишем уравнения (21), (37) в самосопряженном виде:

Здесь функции p(s) и pk(s) удовлетворяют разностным уравнениям

С помощью (58) уравнение (55) можно записать в виде простого соотношения, связывающего функции vh(s) и

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях #ft+1(s), приходим к системе уравнений «ft+i,n = (га — k) afen, к ^и ь <\ft i ----

Ив первого уравнения получаем

После подстановки найденного выражения для aftn во второе уравнение приходим к линейному неоднородному разностному уравнению первого порядка для?

Докажем свойство ортогональности для рассмотренных выше полиномиальных решений уравнения (9).

Для этого запишем уравнения для z/m(s) и yn(s) в самосопряженном виде:

Умножая первое уравнение на у„(х), второе па ym(s) и вычитая 140 из первого уравнения второе, Получим (Я™ — A-ri) У т («) Уп (s) р (s) Ля [s —.

Так как на практике специальные функции обычно возникают как решения некоторых дифференциальных уравнений, то с точки зрения математической физики естественным является такой подход, при котором все свойства специальных функций выводились бы непосредственно из дифференциальных уравнении, возникающих при математической постановке задачи.

В соответствии с этим авторами был разработан метод, позволяющий изложить теорию специальных функций, исходя из дифференциального уравнения вида где о(з), o(z) — полиномы не выше второй степени, t(z) — полином не выше первой степени.

Уравнение (1) содержит как частные случаи дифференциальные уравнения, приводящие к специальным функциям в математической физике и квантовой механике.

I рассмотрен класс преобразований n = cp(z)j/, в результате которых с помощью специального выбора функции

Среди таких преобразований выбираются преобразования, переводящие уравнение (1) в уравнение более простого вида a(zly"+t(z)y' + KyO, (2) где T(Z) — полином не выше первой степени, X — постоянная.

Для определения значений p(s<) перепишем уравнение (56) в виде

Будем называть уравнение (2) уравнением гипергеометрического типа, а его решения — функциями гипергеометрического типа.

Поэтому в силу равенства ш(— «) =• =» — шЫ уравнение (87) можно переписать в виде

Решение этого уравнения в точках Sj = а +?

Рассмотрим возможные значения б„ являющиеся корнями уравнения о(б) = 0, т.

уравнения (89) при z = e2n°.

Так как уравнение (89) наряду с корнем z = zt имеет корень z = 1/z* (что нетрудно проверить), то значения б) (;' = 3, 4) можно вьг-•брать либо вещественными, либо комплексно сопряженными.

ство частных решений уравнения (2), соответствующих определенным значениям Я, исходя из очевидного решения уравнения (2): y(z) = const при Х = 0.

Преобразуем теперь к более простому виду уравнение (85) для в.

Поэтому уравнение для рЫ принимает вид р (s + 1) __ а (— а) р(») ~ O(s + l) '

С помощью этого интегрального представления и преобразований уравнения (2) в уравнения того же вида могут быть получены все основные свойства рассматриваемых функций: разложения в степенные ряды, асимптотические'представления, рекуррентные и функциональные соотношения.

Развитая теория позволяет находить полную совокупность решений уравнения (1).

В результате при a:(s)=ch2fs уравнение (103) для рЫ примет вид , , „ П <°i (•• «,-)

Аналогичным способом при a;(s) ^= sh 2fs приходим к уравнению вида (114) для рЫ,.

Уравнение (85) для p(s) принимает вид

Решение этого уравнения в точках s = Si можно записать в виде

Уравнение для р(я) принимает вид р(»-Ц) ^ а (-«-!

J3 результате приходим к следующему уравнению для p(s):

Разностное уравнение (3) было введено как обобщение дифференциального уравнения (1) для классических ортогональных полиномов.

Рассмотрим указанный -предельный переход на примере полиномов Рака, Переход к пределу при h -»- 0 в уравнении (3) соответствует N= b — a -*- <» для полиномов Рака.

Логическая схема построения теории классических ортогопаль» пых полиномов естественным образом переносится па случай, когда дифференциальное уравнение заменяется разностным.

Мы рассмотрели способ построения соотношения ортогональности вида (144) для полиномов р„(х) в случае, когда сетка {#;} определяется с помощью уравнения PN(XI) — 0.

Все рассуждения сохраняют силу, если сетка (xj определяется с помощью более общего уравнения a.

Дифференциальное уравнение Бесселя и его решение

Характерными задачами, приводящими к цилиндрическим функциям, являются задачи, связанные с решением уравнения Гельмгольца

Для функции vn(r) легко получить дифференциальное уравнение; если проинтегрировать на интервале (— л, я) с весом е'"'" уравнение (1) и упростить член, содержащий <92у/дф2, с помощью, двукратного интегрирования по частям;.

В силу периодичности функции v(r, ф) по переменной ф подстановки обращаются в пуль, и мы приходим к следующему дифференциальному уравнению для функции u(z) = vn(r) при z = Т/Кг.

В дальнейшем мы будем изучать уравнение несколько более общего вида где z — комплексная переменная, v — параметр, который может принимать любые вещественные или комплексные значения.

Решения уравнения (3) называются цилиндрическими функциями порядка v или функциями Бесселя, а уравнение (3) называется уравнением Бесселя.

Из уравнения Бесселя при помощи замены переменных можно получить ряд других дифференциальных уравнений, в частности широко используемое в приложениях уравнение Ломмеля = 0, (4) решение которого имеет вид

Уравнение Бесселя (3) является частным случаем обобщенного уравнения гипергеометрического типа (1.

При приведении уравнения (3) к уравнению гипергеометрического типа в соответствии с выбором различных знаков в формуле (1.

Полагая u(z) =cp(z)f/(z), приходим к уравнению гипергеометрического типа (2.

По теореме 1 из § 3 получаем частное решение этого уравнения в виде с

Здесь Cv — нормировочная постоянная, p(z) — решение дифференциального уравнения lo(z)p(z)J' = T(z)p(z), р, — корень уравнения

3), в которых во избежание путаницы v заменили на \л, так как обозначение v уже было использовано в исходном уравнении Бесселя),

В результате приходим к следующим решениям уравнения Бесоеля:

Однако такое соотношение легче вывести, дифференцируя (2) и исключая в полученном равенстве функции uv(z), uv (z), uv_i(z) с помощью уравнения Бесселя и соотношения (2).

Дифференциальное уравнение для специальных функций

Многие важные задачи теоретической и математической фи-вики приводят к дифференциальному уравнению где o(z), o(z) — полиномы не выше второй степени, т(г) — полином не выше первой степени.

В этой же области по принципу аналитического продолжения рассматриваемые цилиндрические функции будут удовлетворять уравнению Бесселя.

Уравнение Бесселя не меняется при замене v на — v.

Из этих представлений видно, что функции Я^1' (z) и Я^2> (z) имеют различное асимптотическое поведение при z -*• «> и поэтому являются линейно независимыми решениями уравнении Бесселя.

Уравнения такого вида возникают, например, при решении уравнений Лапласа и Гельмгольца в различных криволинейных системах координат методом разделения переменных, при рассмотрении основных задач квантовой механики: дии/кеиие частицы в сферически-симметричном поле, гармонический осциллятор, решение уравнений Шредингера, Дирака и Клейна — Гордона для кулоповского потенциала, движение частицы в однородном электрическом и магнитном поле.

Кроме того, к уравнению (1) приводят так/ке многие модельные задачи атомной, молекулярной и ядерной физики.

Частными решениями уравнений вида (1) являются следующие классы специальных функций — классические ортогональ* ные полиномы (полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита), сферические, цилиндрические и гипергеометрические функции.

Попытаемся с помощью замены ц=°фЫг/ привести уравнение (1) к более простому виду путем специального выбора функции ф(г).

При изучении свойств решений уравнения Бесселя для функций /v(z), H^1'^ (г) оказались удобными интегральные представления Пуассона

В § 14 было показано, чтолпри z •= УЯ, г является цилиндрической функцией порядка ге, если функция У удовлетворяет уравнению &v + Kv = Q.

Простейшим решением уравнения ДУ + ЯУ = О при Я = /с2 > 0 является плоская волна i> = eikr, где k — волновой вектор.

Покажем, что при определенном выборе контура С функция uv(z) будет удовлетворять уравнению Бесселя.

Получим уравнение для функции vv (г) = j v (г, ф) е~ ф^ф с по» с мощью (2), интегрируя обе~части этого уравнения по контуру С с весом е~"ф и упрощая член, содержащий 921>/дф2, с помощью двукратного интегрирования по частям.

Для того чтобы уравнение (2) не было более сложным, чем исходное уравнение (1), естественно потребовать, чтобы коэффициент при у' имел.

+ ivv\ |Ф2 = i exp {ikr sin Ф — ^ф} (kr cos ф + v) ^г (ф1, ф2 — концы контура 6') была равна нулю, то мы придем к уравнению Бесселя для wv(z) = i/v(r) при z = kr.

Таким образом, мы показали, что функция uv (z) = j exp { iz sin ф — i vф} йф (3) с действительно является решением уравнения Бесселя при выполнении условия exp (zz sin ф — ivq>} (z cos

Тогда для функции ф(г) получим ' уравнение где яЫ = [т(г)-т(г)]/2 (4) есть полином не выше первой степени.

Так как uv(z) удовлетворяет уравнению Бесселя, то uv (z) = CvH™ (z) +?

Так как то уравнение (2) принимает вид где т(г)=т(2) + 2я(г), (6) a(z)~Z(z) + n*(z) + n(z)[v(z)~a'(z)] + n'(z)a(z).

Поэтому уравнение (5) является уравнением того же типа, что и уравнение (1).

Таким образом, мы нашли класс преобразований, не меняющих тип уравнения, — это преобразования уравнения (1) с помощью замены u =

В прикладных расчетах часто приходится иметь дело с решениями уравнения Бесселя при вещественных значениях v и положительных значениях z.

Действительно, из дифференциального уравнения для функции Ханкеля Я^-н/а (z) можно получить следующее дифференциальное уравнение для полиномов pn(s):

Тан как это уравнение гипергеометрического типа, то pn(s) будет полиномом, гипергеол!

Уравнение Бесселя рассматривалось нами для комплексных значений z.

В ряде случаев представляет интерес также решение уравнения zzu"+zu' -(22 + v2)u = 0 (5) при 2 > 0, которое получается из уравнения Бесселя заменой z на iz.

В связи с этим специальные классы решений уравнения (5) носят название функций Бесселя мнимого аргумента или модифицированных функций Векселя.

Линейно независимыми решениями уравнения (5), очевидно, являются функции /,(iz), By (iz), Решение Jv(iz) ограничено при z -*• 0, если v > 0, а Я^ (г) при z -*• оо.

В результате уравнение (5) будет иметь вид ty = 0.

Будем называть уравнение (9) уравнением гипергеометрического типа, а его решения — функциями гипергеометрического типа.

В соответствии с этим уравнение (1) естественно назвать!

обобщенным уравнением гипергеометрического типа*).

Функция Ai(z) является решением уравнения u"+zu = 0.

Если считать постоянную k известной, то в'результате решения квадратного уравнения для л (г) получим

Это возможно лишь в случае, когда дискриминант полинома второй степени, стоящего под корнем, равен нулю, Из этого условия получаем уравнение для постоянной /с, вообще говоря, квадратное.

Функция v по переменной Л удовлетворяет уравнению (см.

Из этого уравнения легко получить уравнение в частных производных по переменным г и ц.

Подставляя в (4) полученные выражения для dv/dR и dzv/dR*r приходим к следующему уравнению в частных производных: r»^ + (2v + 1) г ^ + r*v + (1 - F)0 - (2v + 1) ^ = 0.

Очевидно, что сведение уравнения (1) к уравнению (9) может быть осуществлено несколькими способами в соответствии с выбором различных значений постоянной k и выбором различных знаков в формуле (11) для я(г).

Определим вид функций /„(r), gn(p), hn(\i), исходя из требования, чтобы каждый член ряда (6) удовлетворял уравнению (5).

Подставляя (7) в уравнение (5), получим г2/" + (2v + I) rf + r2/ - (1 - ц2) h" + (2v + 1) \ihr _.

Отсюда для функции Мц) получаем уравнение гипергеометрического типа (1 - tf)h" - (2v + l)|ift' + U = О, решениями которого при К = п(п + 2v) будут полиномы Якоби 184 -Р„ 'v ' (ц).

Рассмотренное преобразование позволяет вместо изучения исходного уравнения (1) ограничиться изучением более простого уравнения (9).

Для доказательства проинтегрируем на интервале (—1, 1) о весом (1 - [X2)v-i/2/,(v-i/2,v-1/2) ^ уравнение (5) и упростим члены, содержащие d^vldtf и dv/дц, с помощью интегрирования по частям.

Кроме того, из уравнения для полиномов Якоби следует, что = - « (И + 2V) (1 - ^)

В результате мы приходим к дифференциальному уравнению для функции а„(г, р); которое, как и следовало ожидать, совпадает с (5а) при К

Полученное уравнение является частным случаем уравнения Ломмеля.

Единственным ограниченным при г -*• 0 решением этого уравнения с точностью до множителя, не зависящего от г,

Приведем к виду (9) уравнение Бесселя с помощью замены u = cp(z)i/.

Уравнение Бесселя является част;* ным случаем уравнения (1) при o(z) = z, T(Z) =• 1, o(z) «• г1 — V*, Подкоренное выражение в (11) в данном случав имеет ВИД — z2 + v2 + kz.

Приравнивая дискриминант этого квадратного трвЖ-члена нулю, приходим к следующему уравнению для постф» явной k: fc2 + 4v2 = 0.

, *) Если o(z) — полином второй степени, то уравнение (1) является частным случаем уравнения Римана с тремя различными особыми точками, когда одна из особых точек лежит на бесконечности.

квантовой механикой возникла задача о получении равномерной асимптотики при А -*• +°о решений дифференциального уравнения вида

Полученное при таком исследовании приближенное представление решений уравнения в квантовой механике называют квазиклассическим приближением.

Квазиклассическое приближение для решений уравнений второго порядка.

Выясним поведение решений уравнения

Поведение решений этого уравнения существенно зависит от знака функций k(x) и г(х), в чем легко убедиться, полагая, например, k(x) = const, r(x) — const.

Уравнение Римаяа изучается в курсах по аналитической теории дифференциальных уравнений (см.

Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать уравнение (1) в области, где функции k(x), r(x) знакопостоянны.

Приведем уравнение (1) с помощью замены переменных t/Ы =

После этой замены уравнение (1) примет вид и".

Для исследования поведения решений уравнения (1а) при больших значениях К удобно выбрать функции s(x\ q>Gr) из условий g(s) = 1, /Ы «= 0, т.

В результате приходим к уравнению и* +[»,-?

Если использовать уравнение (3) для ф(ж), то выражение для q(s) можно переписать в виде

В случае, когда функции k(x), r(x) имеют разные знаки па (а, Ь), уравнение (1) заменой (2) приводится к виду, аналогичному (4): *)-=0.

Так как изучение поведения решений при К -*• +°° для уравнения (6) проводится теми же методами, что и для уравнения (4), то в дальнейшем мы будем рассматривать случай, когда уравнение (1) заменой (2) можно привести к уравнению (4).

В, Лекции по аналйтичесю» тгеории обыкновенных дифференциальных уравнений.

Естественно ожидать, что при Я -*- +°° решения уравнения (4) будут в пределе совпадать с решениями уравнения и" +Хи=* •= 0, т.

Будем решать уравнение (4a) методом вариации постоянных, рассматривая правую часть как известную функцию.

Об асимптотическом поведении решений линейных дифференциальных уравнений.

Возвращаясь к старым переменным, получим, что в случав, когда &Ы >0, гЫ >0 на (а, Ь), решения уравнения (1) при Я -*• +оо на любом отрезке [а„ 6,] <= (а, 6) можно представить в виде y(x)tt-~==[Acos%(x) + Bsint,(x)], (Ю) где «о

Замена решения уравнения (1) приближенным решением (10) носит название квазиклассического метода решения уравнения (1).

При замене точного решения приближенным для нас важно было лишь выполнение неравенства 1д($)1<|л в уравнении (4).

Обыкновенные дифференциальные уравнения.

переписать уравнение (4) в виде u = sy-2f(s)u, ц= /и,, (13) и решать это уравнение методом вариации постоянных, рассматривая правую часть уравнения (13) как известную функцию.

Так как v2_l/4\ }и — О является уравнением Ломмеля (14.

Таким образом, возвращаясь к старым переменным, получим, что в случае, когда в уравнении (1) k(x) = (х— aYnkt(x), г(х) = (х — йЭ'гДз:), 1 — т + 2>0, а функции &,(.

Мы изложили метод асимптотического представления решений уравнения (1) при К -+• +°°.

Функция у (х) = Р„ * (х) удовлетворяет дифференциальному уравнению (1) при'(l-a:)e-M(l + a:)|1+i, гЫ = (1 -а?

Если а "=±1/2, то представление (19) справедливо вплоть до х — 0, так как в этом случае v = ±l/2 и уравнение (13) не содержит особенности при s — 0.

iJ+i) (cose)i p(«+2,fJ+2) (cog 9)_ Воспользуемся дифференциальным уравнением для полиномов Якоби и формулой дифференцирования (5.

В результате уравнение (9) примет вид zy" + (2iz + 2v + l)j/'.

Полученное ранее приближение оказывается неприменимым для уравнения (21) в окрестности точки х = 0.

Однако заменой переменных х = е\ и = = e'/2v(z) это уравнение приводится к виду

2-* — оо по модулю отрицательных значениях г функция гДг) и ее производные будут медленно меняться и для уравнения (22) будет применимо квазиклассическое приближение.

Так, например, при решении в сферических координатах уравнения Шредингера для радиальной части волновой функции /?

Так как уравнение (1) не меняется при вамепе o(z).

Для этого приведем уравнение Бесселя к виду (21) заменой и(х) 198

Функция и(х) удовлетворяет уравнению и" + г(х)и==0, v2 - 1/4

Тогда придем к уравнению i7w+r,(z)i; = 0, r1(z)=v2(e2i-l).

Так как v -*• °°, то для уравнения (23) применимо квазиклассическое приближение.

В дальнейшем можно ограничиться рассмотрением случаев, когда в уравнениях (1) и (9) полином o(z) не имеет кратных корней.

Это возможно, например, когда (27) удается свести к обобщенному уравнению гипергеометрического типа (см.

o(z) = (z — я)", то (1) с помощью замены z — a = 1/s преобразуется в уравнение

Поэтому (12) является уравнением вида (1), для которого полипом оЫ равен s и, следовательно, не имеет кратных корней.

Уравнение (1) невозможно привести к виду (9), если o(z) = 1, а (т/2)2 — a — полином первой степени.

В этом случав-для приведения уравнения (1) к удобному для исследования виду можно выбрать в (3) полипом л(г) из условия равенства нулю функции т(г).

Если воспользоваться той же системой единиц, что ив § 9, то уравнение Шредингера (27) можно записать в виде

При этом o(z) будет полиномом первой степени и уравнение (5) примет вид у" + (az+b)z/ = 0.

Эти функции удовлетворяют дифференциальным уравнениям, которые являются частными случаями обобщенного уравнения гипергеометрического типа где a(z), a(z) — полиномы не выше второй степени, T(Z) — полином не выше первой степени.

I, можне изучить свойства решений произвольного обобщенного уравнения гипергеометрического типа.

С помощью замены переменных u = (f(z)y путем специального выбора функции qnz) уравнения вида (1) сводятся к уравнениям гипергеометрического типа

Для уравнения (2) в § 3 был указан способ построения частных решений.

Уравнение (13) линейной заменой s *= az + b сводится к частному случаю уравнения где a, p, f,.

Уравнения гипергеометрического типа и их решения

Приведем уравнение (2) с помощью линейной замены независимой переменной к каноническому виду.

После замены z = a+(b — a)s *) Если полином о (г) имеет кратные корни, то уравнение (2) может быть сведено к уравнению гипергеометрического типа, для которого o(z) является полиномом первой степени (см.

§ 1), приходим к уравнению s (1 - s) у" + -^-а т (а + (Ъ - a) s] у' '+ Ъу = 0.

Очевидно, всегда можно так подобрать параметры а, В, ^ , чтобы записать полученное уравнение в виде s(l - s)y" + [4 - (а + В + i}s\y' - аВу = 0.

Это уравнение называется гипергеометрическим уравнением*).

Полагая z = а + bs, запишем уравнение (2) в виде sy ia

Если т'Ы = 0, то это уравнение при любом значении Ъ является уравнением Ломмеля (14.

Тогда уравнение примет вид s,j" +(f-s)/-aj/ = 0.

Это уравнение называется вырожденным гипергеометрическим уравнением.

Это уравнение будет рассмотрено в § 14 (см.

При т'Ы = 0 уравнение (2) будет линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами.

Если же т(г) =5*= 0, то с помощью замены z = a + fcs уравнение (2) можно записать в виде у

Подбором постоянных a, b, v полученное уравнение может быть приведено к уравнению у" -2sy' + 2vy = Q, которое называется уравнением Эрмита (при v = п оно совпадает с уравнением для полиномов Эрмита).

Преобразование уравнений гипергеометрического типа и уравнения того же типа.

Уравнение (2) является частным случаем уравнения (1).

Поэтому его можно преобразовать в уравнение того же типа с помощью замены u = (f(z)y (см.

§ 1), если функция q>(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению ф'/Ф = JT(Z)/O(Z), где

0' — Т *) Гипергеометрическое уравнение часто называют также уравнением Гаусса.

уравнение Ломмеля).

Для гипергеометрического уравнения z(i-z)u" + li- (а + р + 1)г]и'-сфи = 0 (3) имеем

После замены и = ф(г)г/ при ф(г) = г'~т приходим к уравнению z(i-z)y" + [2--Y-(a + p-2i + 3)zV

Это уравнение можно записать в каноническом виде: a'p'i/-0, (4) если положить a' = a — f + 1, fl' = ji — "[ + 1, ^' = 2 — "f.

Аналогичным образом после замены и — (p(z)y при ф(г) = (1 — z)1"01"^ приходим к уравнению (4) при а' = ч — а, {}' = f — Р, l' == "f.

Функция y(z) = иЫ/фЫ удовлетворяет гипергеометрическому уравнению с параметрами a', J}', ^'.

Поэтому частным решением уравнения (3) будет также функция u(z) =ф(г)/(а', р', •у', z).

В результате при х = (1 — ч)(а+ (J — ч) мы приходим к следующим частным решениям уравнения (3):

Уравнение (3) не меняется при одновременной замене а на Р и р на а.

Подобным же образом для вырожденного гипергеометрического уравнения zw" + (f-z)u'-au = 0 (6) по частному решению ut(z) = /(a, f, z) можно построить решения u.

Для уравнения Эрмита a"-2zB' + 2vu = 0 (8) по частному решению Uj(z)=/v(z) можно построить решение u2(z) = erz2/-v-i(iz).

К решению уравнений гипергеометрического типа можпо свести рл-шение системы дифференциальных уравнений первого порядка

Так как уравнение (8) не меняется при замене z на —z, то мы имеем также решения «s(2) = /v(-2)f u4(z)-e-'2/-v-i(-tz).

Перейдем к конкретному построению частных решений для уравнений (3), (6).

Как было показано в § 3, уравнение гипергеометрического типа o(z)it" имеет частные решения вида '') Р ^ ds.

Здесь p(z) — решение дифференциального уравнения (сгр)' = тр, v — корень уравнения ^ + VT' + (l/2)v(v — Do" =0, а контур С выбирается из условия = 0 (10) ($i, s2 — концы контура).

Кроме того, при построении решений уравнения (3) будем предполагать, что z < 1.

Для уравнения (3) o(z) = z(l - z), p(z) = zT-'(l - z)a+p-T, v=— а (или v = — ^); для уравнения (6) o(z) = z, p(z) = zT~'e~% v = — a.

Аналогичным образом для решений уравнения (6) приходим к следующим видам контуров: s = zt, Re 7 > Re a > 2, e = z(l + «), Rea>2,

Использование контура s = zt (0<г<1) для уравнений (З) и (6) дает следующие частные решения, получаемые по формуле (9): "i(z) = /(«, P, Y,z) = i - С (а, р, 7) (1 - z)v~a-p J i^01-1 (I - if'1 (1 - zty^dt, о i "a (z) = / (a, Y.

Более простые интегральные представления для решений уравнений (3), (6) получаются, если вместо решений /(a, [i, if, z) и /(а, ч, z) использовать решения (1 — z)lr~Q'~f3/('Y — а, ч — ^, Ч, z) и ez/(f — а, ч, —z).

В результате при Rea>0, Re^>Rea + 2 приходим к следующим решениям уравнений (3), (6): i * <«• Р' V.

Если из (15) исключить u^(z), то приходим к уравнении» для MI (г): ~ - «и «j « 0.

Поскольку то (17) при т1г = 0 будет уравнением гипергеометрического типа.

Например, используя формулы дифференцирования (15) и дифференциальные уравнения (3), (6), приходим к рекуррентным соотношениям <р(а, р, f, г) - (а + 1)(р + 1)г(1 - z)q>(a + 2, р + 2, f + 2, г) + + [^-(а+р+1)2]ф(а+1, р+1, ч + 1, z), (16) <р(а, ч, г) = (а+1)зф(а + 2, у + 2, z) + (4 - г)ф(а + 1, ^ + 1, z).

В результате приходим к системе уравнений l{ =\!

В этой же области по принципу аналитического продолжения функции ф(а, р\ -у, z), ф(а, -у, z) будут удовлетворять дифференциальным уравнениям (3) и (6) соответственно.

Совокупность решений гипергеометрического и вырожденного гипергеометрического уравнения.

Если выбрать коэффициенты а, Р, ч, 6 из условия т12 = 0 (что всегда возможно) , то для функции t>i (г) после исключения vz(z) из системы (18) получим обобщенное уравнение гипергеометрического типа.

Рассмотрение других контуров для гипергеометрического уравнения приводит к следующим парам линейно независимых решений:

Для вырожденного гипергеометрического уравнения контур.

В том случае, когда о(г) — полином первой степени, от системы (15) можно перейти к обобщенному уравнению гипергеометрического типа другим способом, выбирая постоянные а, ($, ч, в так, чтобы коэффициент Ли не зависел от z, т.

Подставляя формулы дифференцирования в дифференциальное уравнение (6), для G(a, 4, z) приходим к следующему рекуррентному соотношению:

С помощью формул дифференцирования и принципа аналитического продолжения можно убедиться в том, что функция G(a, 4, z) является решением уравнения (6) при любых значениях параметров.

Уравнение Эрмита (8) является частным случаем уравнения гипергеометрического типа при a(z) = 1, T(Z) = — 2z.

Найдем частное решение этого уравнения по формуле (9).

В результате приходим к следующему решению уравнения (8): оо и (z) = Hv (z) = Cv \ exp {— tz — 2zt] t~v~ldt.

Приступим к изучению свойств решений уравнения гипергео-метричёского типа o(z)y"+T(z)/ + JU/-0.

Подставляя формулу дифференцирования (31) в дифференциальное уравнение (8), для Hv(z) получим рекуррентное соотношение

С помощью формулы дифференцирования (31) и принципа аналитического продолжения можно убедиться в том, что функция ДуЫ является решением уравнения (8) при любых значениях V.

Для доказательства продифференцируем уравнение (1).

В результате получим, что функция Vi(z) =- у'Ы удовлетворяет уравнению.

В § 20 для гипергеометрического уравнения было получено несколько пар линейно независимых решений, выражающихся через гипергеометрические функции от аргументов z, I — z, 1/z.

Так как гипергеометрическое уравнение может иметь не больше двух линейно независимых решений, то любое из решений u(z) может быть представлено в виде линейной комбинации произвольной пары из этих линейно независимых решений иД'г), ы2(г):

Так как T,(Z) — полином не выше первой степени, a ut не зависит от z, то (2) является уравнением гипергёометрического типа.

В силу различного поведения при z -*- О решения ut(z)-=F(a, р\ Y, z) и u2(z)=z1-T^(a-'Y + l, ^-^ + 1, 2- -у, 2> уравнения (20.

Покажем, что функция г/Ы, полученная по этой формуле, удовлетворяет уравнению (1), а производная этой функции сов падает с y,(z).

Можно получить также другой класс функциональных соотношений, связанный с симметрией дифференциального уравнения относительно замены z на — z.

Предположим, что уравнение гипергеометрического типа

После замены s = z2, u(z) = y(s) уравнение (20) примет вид +2[0-1(s) + nsb' +?

Это уравнение является по-прежнему уравнением гипергеометрического типа.

Поэтому любое решение u(z) уравнения (20) можно представить в виде линейной комбинации любых двух линейно независимых решений ^(s), i;2(s) уравнения (21).

Пусть u(z) удовлетворяет уравнению d-z2)u" - которое не меняется прд замене г на — z.

Если заменой i=(l + z)/2 привести это уравнение к каноническому виду, то нетрудно убедиться, что решением уравнения будет функция

С другой стороны, после замены s = z2, u(z) = i>(s) приходим к уравнению решения которого можно выразить через гипергеометрические функции от переменных s, 1 — s, 1/s и т.

Подставляя v, = у' в исходное выражение для y(z), приходим к уравнению (1) для y(z).

Рассмотрим уравнение для функции Эрмита и = //v(z) и" -2zu' + 2vu = 0.

Это уравнение не меняется при замене z па — z.

Полагая s = zz, u(z) = y(s), приходим к уравнению sv" + (у - s) v' + j v - Of решения которого можно выразить через вырожденные гипергеометрические функции:

Подобным же образом для функции vn(z) — г/'"Чг) можно по индукции получить уравнение гипергеометрического типа

Рассмотрим вопрос о выборе линейно независимых решений гипергеометрического уравнения при любых значениях а, р1, f.

), то линейно независимыми решениями гипергеометрического уравнения являются функцииui(z) — F(a, p, у, z),u2 (z) = zl~vF (a - v + 1, p-Y + 1, 2-v, z).

Если же Ч = п, то одна из этих функций теряет смысл и встает вокрос о выборе двух линейно независимых решений гипергеометрического уравнения.

Рассмотренное свойство позволяет построить семейство частных решений уравнения (1), соответствующих определенным значениям А,.

Действительно, уравнение (3) при ц„ = 0 имеет частное решение i>TI(z) =const.

Таким образом, в рассматриваемом случае в качестве линейно независимых решений гипергеометрического уравнения можно выбрать функции F(a, (5, га, z), F(a, P, a+ ji — ra+ 1,1 — z).

Действительно, из (30) вытекает, что функция Ф(а, 8, ч> z) будет решением гипергеометрического уравнения при if = п, если а, В, а + В не являются целыми числами, так как она является линейной комбинацией двух решений этого уравнения: F(a, В, п, z) и F(a, В, а + 3 — п + 1, 1 — 2).

Г (а) Г (Р) линейно независимыми решениями гипергеометрического уравнения являются функции Р(а.

I1 (а) = оо, то двумя линейно независимыми решениями гипергеометрического уравнения, так же как и при "{^0, ±1, ±2,.

Нам остается, рассмотреть случай, когда в гипергеометрическом уравнении f = — п (п = О, 1,.

15* 227 к предыдущему, если вспомнить, что гипергеометрическое уравнение для функции u(z) после замены и = z1"7!

/ приводится к гипергеометрическому уравнению для y(z) с параметрами ос' =» = а-ч + 1, р'=>р-ч + 1, "(' = 2-1 (см.

Полиномы i/n(z) являются в известном смысле простейшими решениями уравнения (1) *).

Поэтому при ч = — п линейно независимыми решениями гипергеометрического уравнения являются функции: а) если ц2 (z) = 2"+1 Ф (a + п + 1, р + п + 1, /г4 + 2, г),

Таким образом, с помощью рассмотренных рассуждений можно построить полную совокупность линейно независимых решений для гипергеометрического и вырожденного гипергеометрического уравнений при любых значениях параметров, входящих в эти уравнения.

Линейно независимые решения гипергеометрического уравнения в особых случаях

Чтобы получить явное выражение для полинома yn(z\ умно,* жим уравнения (1), (3) на такие функции p(z), р„Ы, которые позволят записать эти уравнения в самосопряженном виде;

4 для двух линейно независимых решении цДг), и2(2) гипергеометрнческого уравнения в зависимости от значений a, p, f.

Здесь функции p(z), р„Ы удовлетворяют дифференциальным уравнениям (ар)' = тр, (6) (ар„)' = т„р„.

Как было показано в § 2, полиномиальные решения дифференциального уравнения гинергеометрического типа

С другой стороны, решения уравнения (1) можно выразить через гипергеометрические, вырожденные гипергеометрические функции и "функции Эрмита в зависимости от степени полинома o(z).

Для полиномов Якоби дифференциальное уравнение (1) имеет вид

2s оно сводится к гипергеометрическому уравнению в(1 - s)y" + [у.

Частным реше' 229нием этого уравнения, являющимся полиномом, будет функция у (z) = F (alf р\, YI, s) = F[ — п,п +'а + р1 + 1

Дифференциальное уравнение для полиномов Лагерра Ь™ (z) zy" + (l + a-z)y' + ny = 0 имеет частное решение j/(z)=F(-n, 1 + a, z), являющееся полиномом.

Дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита у" -2zy' + 2ny = 0 имеет в качестве частного решения функцию Эрмита Hn(z), которая является полиномом степени га.

Для представления Qn(z) через функцию Эрмита воспользуемся тем, что функция Qn(z) удовлетворяет тому же уравнению, что и полиномы Эрмита.

Поэтому она может быть представлена в виде линейной комбинации двух линейно независимых решений уравнения для полиномов Эрмита:

Одним из частных случаев обобщенного урав-иепия гипергеометрического типа является уравнение Уиттекера

Заменой и = г^+'^е"2'2;/ это уравнение сводится к уравнению zy"+ (2ц + 1-2)у'+ (й-ц-1/2)у = 0, 'решениями которого являются функции

Таким образом, уравнение Уиттекера имеет частные решения - А + Ц, 2ц + 1, которые называются функциями Уиттекера.

Так как уравнение Уиттекера не меняется при замене ц на —ц или при одновременной замене k на — k и г на — z, то его решениями являются также функции ЛГ*,_д(г) и Л/-*, ±ц(— z), Wk.

Приведение уравнений в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям методом разделения переменных

Обобщенные уравнения гипергеометрического типа возникают, как правило, в результате решения уравнений математической физики я квантовой механики методом разделения переменных.

Этот метод применяется для отыскания частных решений уравнений вида

LiUi • L2u2, M iM2(uiU2) уравнение Lu = 0 можно переписать следующим образом:

В результате приходим к уравнениям, в каждое из которых входят функции, зависящие лишь от части исходных переменных:

(Cj — постоянные), соответствующих различным возможным значениям А, = А,(, является решением уравнения (1).

Мы свели решение исходного уравнения к уравнениям с меньшим числом переменных.

Особый интерес представляют случаи, когда исходное уравнение последовательным применением метода разделения переменных удается свести к совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений.

2) после перехода к криволинейным координатам можно было бы разделить переменные в уравнении.

Для этого уравнения известно 11 систем криволинейных координат, в которых переменные разделяются.

При этом возникают, как правило, обобщенные уравнения гипергеометрического типа.

Рассмотрим в виде примера нахождение частных решений методом разделения переменных для уравнения Гельмгольца в параболических цилиндрических координатах и координатах параболоида вращения*).

В первом случае уравнение Гельмгольца Аи + &2и = 0 принимает вид

Записывая уравнение (7) в виде

В результате приходим к следующим уравнениям для фунн« ций Z7(|), F(ri), IF(^):

Уравнения (10), (13) сводятся соответственно к уравнениям (9), (12) заменой [i па —ц.

Уравнение (9) является обобщенным уравнением гипергеометрического типа.

2 = t, которая позволяет привести (12) к обобщенному уравнению гипергеометрического типа

Уравнения (9) и (15) сводятся соответственно к 'уравнениям Эр-мнта и вырожденному гипергеометрическому уравнению (см.

При решении дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных, изложенным в § 24, задача сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Решения этих уравнений для многих интересных задач математической физики можно выразить через специальные функции.

Чтобы получить таким способом решение уравнения в частных производных для конкретной задачи, необходимо на решения рассматриваемого уравнения наложить дополнительные условия, обеспечивающие единственность решения задачи.

Эти условия приводят в свою очередь к некоторым дополнительным условиям, налагаемым на решения соответствующих обыкновенных дифференциальных уравнений, и мы приходим к постановке так называемых краевых задач.

Исследование свойств решений произвольных краевых задач в применении к дифференциальным уравнениям для специальных функций позволяет получить некоторые интересные свойства специальных функций.

Метод разделения переменных, рассмотренный в § 24, широко применяется для решения возникающих в математической физике дифференциальных уравнений в частных производных вида = Lut (1)

Если A(t) = I, B(t)=Q, то (1) описывает процессы распространения колебаний, например, распространение электромагнитных и звуковых волн; при' A(t)=0, B(t) = 1 уравнение (1) описывает различные процессы переноса, в частности, процессы распространения тепла или диффузии частиц в среде; при.

A(i)=0, B(t) = Q уравнение (1) описывает соответствующие стационарные процессы.

Для уравнений в частных _ производных решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций.

Поэтому для однозначного выделения решения уравнения в частных производных, описывающего реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия.

Для уравнения (1) начальные условия состоят в задании функций и(х, г/, z,?

В результате цриходим к следующим уравнениям:

Уравнение (3) является обыкновенным дифференциальным уравнением и для характерных задач математической физики легко решается аналитически.

к уравнениям вида где , k(x)>0,

Уравнение (6) рассматривается на интервале (а, Ь) с граничными условиями вида a1y(a) + p,i/'(a) = 0, агу(Ъ) + ^у'(Ь) -0, (7) где а,-, ^ — заданные постоянные.

J, *) Представление решения в виде 2 ^n ^ vn (Xt У< *) УД°бно при реп=ошепии не только уравнений вида (1), но также и более общих неоднородных уравнений|j \(см.

12) для полиномиальных решений уравнения (2.

«iJ/2 (а) + PiJ/a (а) = О,то, рассматривая эти равенства как систему линейных однородных уравнений относительно постоянных oci, $\, находим, что эти уравнения могут иметь нетривиальные решения лишь в случае, когда W(yi, j/2)l*=o = 0.

Все рассмотренные выше свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма — Лиувилля сохраняются и в этом случае при довольно общих условиях, наложенных на поведение коэффициентов уравнения (6) при х -*• а.

Пусть теперь точка х = а будет особой точкой уравнения.

Тогда свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма — Лиувилля для уравнений без особенности, очевидно, сохраняются и для уравнений с особенностью, если на условия ограниченности при х = а будет вытекать условие

(Эсцилляционные свойства решений уравнения

), С — замкнутый контур, охватывающий точку s = z, а функция p(z) является решением уравнения (ор)' = тр.

Получим уравнения для неизвестных функций гЫ, срЫ: k (х) у' = k (х) (г1 sin ф + гф' cos ф) = г cos cp, g (х) у = _ [k (х) у']' = — г' cos ф + гф' sin ф = gr sin ф.

Решая эту систему относительно ф', г', приходим к следующим 248 дифференциальным уравнениям: ф' = гут cos2 ф + g(x) sin2 ф, r' = -n-r(-,----#)8ш2ф.

Из последнего уравнения находим г (х) = г (х0) ехр х

для изучения осцилля-ционных свойств решений уравнения (10) достаточно ограничиться изучением поведения решения первого из уравнений (12).

Пусть функции — решения уравнений ф =

Рассмотрим уравнение - cos2 фг + g\ (x) sin2 с начальным условием ф,(я0) = ф(ж0).

1) при А, = /,„ в виде (1) дает возможность предположить, что при произвольном значении Я, частное решение этого уравнения можно искать в виде где С, — нормировочная постоянная, а величина v связана с постоянной А, сооотношением, аналогичным (2.

Решение линейного неоднородного уравнения для if>v(z) имеет вид

уравнению для ф' = —т— cos2 ф + g-(x, К) sin2 ф.

Докажем теперь, что уравнение (15) имеет в точности один корень при любом фиксированном значении п •= О, 1,.

Поэтому уравнение (15) при фиксированном значении п может иметь лишь один корень К =- Х„, причем >,„+!

Для того чтобы доказать, что уравнение (15) имеет корень при любом значении п = О, 1,.

Пусть функция рЫ удовлетворяет уравнению [o v — корень уравнения и пусть pv (s) — av (s) p (s), и (z) == с v~

X,—* — оо А,-* — оо ние уравнения (17), удовлетворяющее условию aty(a) + р,г/'(я) = О, имеет вид ( Г«1 - 1 _ Л I — sh со (ж — а) — Вх ch (о (ж — а) , g (К) •< Ол у (х, Я) = L ш _ J

Тогда уравнение (2.

Для получения такой оценки умножим уравнение

Краевые задачи для уравнения Бесселя.

Подставляя это выражение в уравнение теплопроводности J- — = _L JL ( ^t\ 4- — d2" аа 'di ~ г ' дг V иг / + Г2 ' Йф2 t получим

Уравнение для функции T(t) дает

Решая уравнение для Ф(ср), получим Ф(ф) = A cos Уц ф + В sin Уц ф.

Поэтому функция Л(г) должна удовлетворять уравнению / 2\

I = 0,; (23) которое является частным случаем уравнения Ломмеля (14.

Получим дифференциальное уравнение для функции u(z).

Согласно (22) функция R(r) должна удовлетворять граничному условию [аД(г) + рЯ'(г)11г=г0 = 0, - (24) откуда получаем уравнение для определения возможных значений постоянной Я,: » (z) = 0,, (25) где z =

Естественным обобщением задачи (23), (24) является задача о нахождении собственных функций и собственных значений для уравнения "J— 1 X-г- } -f- I г*Х — — I у = О, V ^^ 0, (26)

Условию ограниченности в окрестности точки х = 0 при заданных значениях К и v > О удовлетворяет лишь одно из двух линейно независимых решений уравнения (26):

Уравнение (26) имеет особенность при х -*• 0.

Поэтому для того, чтобы основные свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма — Лиувилля сохранялись и для этого уравнения, необходимо проверить, что при х -*• О k(x)W \у),1(х),у^(х)'\-*-0.

Если a/4 + v<0, то уравнение (27) будет иметь один корень, соответствующий собственному значению К < 0.

Вронскиан легко вычисляется, если выразить вторую производную через первую производную и саму функцию с помощью уравнения Бесселя.

Уравнение (26) имеет особенность при -х -*• 0.

Однако можно показать, что осцилляционная теорема для поставленной задачи сохраняет силу, так что уравнение (27) имеет бесконечное число корней АО < Я,1 < Кг <.

Если уравнение (27) имеет вид /v(z) = 0, что соответствует случаю f = 0, то разложение (30) называется разложением Фурье — Бесселя.

В § 9 рассматривался общий метод решения квантовомехани-ческих задач для состояний дискретного спектра энергий в случае, когда эти задачи методом разделения переменных сводятся к решению -дифференциальных уравнений вида где аЫ, o(ar) — полиномы не выше второй степени, т:(х) — полином не выше первой степени.

Заметим, что к дифференциальным уравнениям вида (1) приводят такие важные задачи квантовой механики, как движение частицы в центрально-симметричном поле, гармонический осциллятор, решение уравнений Шредингера, Дирака и Клейна — Гордона для куло-новского потенциала, движение заряженной частицы в однородном электрическом и магнитном полях.

С60иа — Гордона исходное уравнение приводится методом разделения переменных к уравнению (1) на некотором интервале (а, Ь).

На решения исходных уравнений для связанных состояний налагаются дополнительные требования.

5=3 тРт функция р(х) возникает при приведении уравнения (1) к самосопряженному виду: (<т?

Прежде всего, (1) заменой и = <р(х)у следует привести к уравнению гинергеометрического типа а(х)у" + t(x)y' + Ку = О, выбирая из возможных способов приведения такой, для которого функция т(х) = т(х) + 2л(ж) имеет отрицательную производную и корень на интервале (а, Ь).

Собственные значения энергии определяются из уравнения

а собственными функциями уп(х) будут полиномы га-й степени; которые ортогональны на интервале (а, Ь) с весом р(х\ удовлетворяющим уравнению (ор)' = тр (Вп — нормировочная постоянная).

Уваров 261 уравнение Шредингера

Производя те же действия, что и при решении уравнения Лапласа (см.

Правимая во внимание формулы для K(Z), M'(Z), w"(z), приходим к уравнению

Уравнение (3), как было показано выше, имеет решения, удовлетворяющие условиям ограниченности и однозначности для 0<6<я,0^ф^ 2л, лишь при Я, = 1(1 + 1), причем в этом случае У(8, ф) = У)т(6, ф) — сферическая функция.

Так как dr ~ Г drZ 'Г to (4) заменой R(r) = rF(r) сводится к уравнению г J » '

Единственным атомом, для которого уравнение Шредингера может быть решено точно, является самый простой из всех атомов — атом водорода.

После подстановки явного выражения для TV(Z) это уравнение можно записать в виде a(z)u" + [20' (z) - T(Z)] u'—(\ + l)(t' + -^f-a") u - 0.

к решению уравнения Шредингера

Переходя к сферическим координатам, для радиальной функции Л(г) получаем уравнение

В уравнении (7) удобно перейти к безразмерным переменным, используя атомную систему единиц, в которой в качестве единиц заряда, длины и энергии используются заряд электрона е (е > 0) и величины ай = ftV(u.

Получим теперь с помощью (5) уравнение для функции y,(z).

Уравнение (8) — обобщенное уравнение гипергеометрического типа, для которого о(г)»=г, т(г) = 0, о(г) = 2?

Поставленная для уравнения (8) задача принадлежит к ти-пу задач, рассмотренному в § 9.

Приведем (8) к уравнению гипергеометрического типа в(г)у" + т(г)г/' + Ку = О, полагая Д(г) = <р(г)у(г), где ф(г) — решение уравнения ф'Лр == - я(г)/о(г).

Уравнение (5) — обобщенное уравнение гипергеометрического ти-» па при т (z) = 20' (z) - т (г), 0 (г) = - (v + 1) (т' + V-~ a") a (z).

], p(r) = r2I+1 exp {-2У-2/ Собственные значения энергии Е определяются из уравнения

5)) уравнение „" , т (г) ' a (z) __ „ где о (z) = a (z) + л2 (z) + я (z) [7 (z) - a' (z)] + я' (z) a (z) =»

Полученное уравнение, очевидно, совпадает с уравнением (2.

Если энергия частицы сравнима с энергией покоя, равной Мсг (М — масса частицы, с •— скорость света), то в этом случае уравнение Шредингера становится неприменимым и надо пользоваться релятивистскими обобщениями уравнения Шредингера, т.

в зависимости от величины собственного момента количества движения частицы (спина) надо использовать либо уравнение Клейна — Гордона, либо уравнение Дирака **).

а) Рассмотрим сначала уравнение Клейна — Гордо-н а, описывающее движение заряженной частицы с зарядом —е (е > 0), с целочисленным спином и массой М в кулоновском поле с потенциальной энергией U(r) = — Ze2/r.

Если воспользоваться системой единиц, в которой масса частицы М, постоянная Планка И и скорость света с равны единице, то уравнение Клейна — Гордона будет иметь вид , ц =?

Производя те же действия, что и при решении уравнения Лапласа (см.

Уравнение (16), как было показано выше, имеет решения, удовлетворяющие условиям ограниченности и однозначности для О < 9 ^ я, 0 *?

Уравнение (17) заменой Л (г) = rF(r) сводится к уравнению -<, (18)

Уравнение (18) является обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого с(г)=г, т(г)=0, о(г) = (Ег+ \л)г — — г2 — 1(1 + 1).

Отметим, что при решении соответствующего уравнения Шредингера используется более сильное требование ограниченности функции R(r)/r при г -*- 0.

Уравнение (18) имеет особенность при г -»- 0.

Так как при м -*• О то в окрестности точки г — 0 поведение Л(г) будет приближенно описываться уравнением Эйлера решения которого имеют вид д(г) = где v = — 1/2 + У(/+ 1/2)2 — [г2 (в дальнейшем мы будем предполагать, что ц, < I + 1/2).

Приведем (18) к уравнению гипергеометрического типа полагая Д(И = ф(г)г/(г), где ф(г) — решение уравнения ф'Лр =• = я(г)/о(г).

определяются из уравнения X + nT' +!

Постоянная С„, определяется из о условия нормировки (19) точно так же, как и при решении соответствующего уравнения Шредипгера.

Таким способом можно построить несколько частных решений уравнения (2.

2 при решении уравнения Шредингера, если учесть, что для использованной нами системы единиц величина |АГ переходит в Zr для „2 атомной системы единиц, а энергия Е =• 1 — ' - " - -j содер?

б) Рассмотрим теперь уравнение Дирака для заряженной частицы с полуцелым спином в поле U(r) — — ZeVr.

Если воспользоваться системой «диниц, в которой масса частицы М, постоянная Планка ft и скорость света с равны единице, то уравнение Дирака будет иметь вид [2] —

В результате подстановки (22) в (21) получаем систему уравнений для функций /(г) и g(r): где f- (I + 1), Z = / - 1/2,

В результате для Ut(r) получим дифференциальное уравнение второго порядка: г \ а,„ \ , «11 + «22 + - 1 Ml + -J- апа22 — а12 я21 — йц 4- ац 1^ = 0.

(26) \ °12 / [Аналогично, исключая ы,(г), получим уравнение для и2(г): «a — ii + «a» + — и» + f &{)1 allaM — Я12«21 — «22 + ^-«22 ] W2 == 0.

Уравнения (26), (27) не являются обобщенными уравнениями гипергеометрического типа.

1) можно рассматривать как обобщенное уравнение гипергеометрического типа, для которого оЫ —АлЫ, тЫ«-»тЫ.

Уравнение (26) являлось бы обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого 0(г) = г, если бы коэффициенты &i2 или с12 равнялись нулю.

При линейной замене е невырожденной матрицей С, не зависящей от г, мы получаем систему уравнений относительно функций У!

Уравнения для функций ut(r) и vz(r) будут аналогичны уравнениям (26), (27):

В результате преобразования неходкое уравнение переходит в другие уравнения гипергеометрического типа.

Чтобы (29) было обобщенным уравнением гипергеометрического типа, достаточно, чтобы либо 5!

Построив для последних частные решения, получим с помощью обратного преобразования новые частные решения для исходного уравнения.

В результате приходим к следующей системе уравнений для функций ut(r), и2(г): v+l.

Так как уравнение (2.

Если 1 + Sx/v^O, то из системы (31), (32) можно исключить v2(r) и получить следующее дифференциальное уравнение для

ICE2 - 1)г2 + 2Е]лг\

Уравнение (33) является обобщенным уравнением гипергеометрического типа, для которого о(г) = г, т(г) = 2, о(г) = •• (Е2 ~ 1)г2 + 2E\ir — v(v + 1).

При построении решений уравнения (2.

Приведем (33) к уравнению гипергеомотрического типааМу" + т(г)г/' + Я?

где ср(г) удовлетворяет уравнению ф'/ф = =• п(г)/о(г) (я(г) — некоторый полином, не выше первой степени).

Найденное ранее собственное значение энергии Е = — удовлетворяет уравнению (34) при п = — 1.

Контуры такого вида можно выбрать, вообще говоря, лишь при некоторых ограничениях, наложенных на коэффициенты дифференциального уравнения гипергеометрического типа.

Из уравнения (31) при Е — Еп (п — 1, 2,.

Для определения у(х) получим предварительно уравнение для функции vz(r), исключая из системы (31), (32) функцию 1>Дг):

В результате придем к следующему дифференциальному уравнению для у(х): ху" + (2v - х)у'+ пу = 0.

Уравнение (39) является уравнением гипергеометрического типа.

Единственным полиномиальным решением этого уравнения является полином Лагерра У (х) — BnL^~l (х), откуда уг (г) = Sna:v~1e~:'c/2L2v~1 (x).

Число N = п + v в нерелятивистском случае равно л + |х| = п + \j + 1/2|; оно соответствует главному квантовому числу для решений уравнения Шредингера.

Выражение (42) для /(г) полностью совпадает с соответствующим решением уравнения Шредингера.

Поэтому для установления совпадения нерелятивистского предела с решением уравнения Шредингера приходится дополнительно использовать рекуррентные соотношения для гипергеометрических функций.

Из этих соотношений вытекает, что операторы /2 = /* + 3\ + J\ и Л коммутируют и имеют общую систему собственных функций i|)jm, которые удовлетворяют уравнениям ^jm, (44) , m±1.

Поэтому при фиксированных значениях /t, /2, ; преобразование позволяет с помощью подбора множителей А, В, С получить уравнение для функции ит(т^ тг) с произвольными постоянными коэффициентами: aum(mt + 1, m2) + Ъит(т^ m2+l).

Из уравнения (56) последовательно получаем um(m,) = Aum+i(/Wi) == А2ггт+2(пг,) =.

Так как в качестве решений уравнения (2.

Для определения Uj(mi) воспользуемся уравнением (58) при m = j.

1) мы будем использовать интегральное представление (2), то для аналитического продолжения решений этого уравнения по независимой переменной и параметрам, входящим в уравнение, удобно опираться на следующую теорему об аналитичности интеграла, за- :; висящего от параметра *).

22бы эта функция удовлетворяла уравнению (2.

По принципу аналитического продолжения функция y(z) будет удовлетворять этому уравнению во всей области, и которой левая часть уравнения является аналитической функцией (правая часть, равная пулю, аналитична в любой области) *).

В последующем изложении для изучения решений конкретных уравнений гипергеометрического типа будет использоваться интегральное представление (2), а полученные результаты будут распространены на более широкую область с помощью принципа -аналитического продолжения.

Если известны моменты весовой функции ь то hi, X; можно найти из системы уравнений

*) Впрочем, если использовать аналитическую теорию дифференциальных уравнений (см.

, например, [18]), то область аналитичности решений уравнения (2.

1) можно было бы определить, исходя непосредственно из вид» дифференциального уравнения (особыми точками уравнения (2.

1) являются корми уравнения о (г) = 0 и бесконечно 'удаленная точка),

Для этого перепишем (1) в более-удобном виде, используя для функции PV(S) = ov(s)p(s) дифференциальное уравнение (apv)' = Tvpv, где т,Ы = T(S) + va'(s).

Приравнивая коэффициенты при различных степенях s в левой и правой частях (3), получим систему однородных линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов полинома 'Q(s) и коэффициентов At (i = 1, 2, 3), входящих в выражение для P(s).

Так как в полученной системе уравнений коэффициенты при неизвестных являются полиномами от переменной z, то при таком выборе одного из коэффициентов остальные будут рациональными функциями переменной z.

Дифференциальное уравнение: „ , "r(z) , a (z) и" + — 7~\ " -- ~5 - и = О,

Приведение обобщенного уравнения еиперееометрического типа к уравнению еиперееометрического типа.

Заменой и —

Функция q>(z) удовлетворяет уравнению ф'/Ф = n(z)/o(z), 822 где 3i(z) —полином не выше первой степени:

u(z) = (z — «)2, то исходное ураниепио после 'замены s = l/(z' — а) приводится к обобщенному уравнению гинергеометрического типа, для которого о(») = «.

2) Припедепие исходного уравнения к уравнению гипергеометрического тина указанным выше способом невозможно, если o(z) = 1, а (т(г)/2)2 — — о (г) — полином первой степени.

В этом случае, если положить л (г) =-= — тГ(г)/2, исходное уравнение приводится к виду у" + (az -+- Ь)у = 0.

Ото уравнение линейной заменой s = az + Ь сводится к уравнению Ломмеля (14/0

Уравнение гипергеометрического типа.

Дифференциальное уравнение: o(z), T(Z) — полиномы не выше второй и первой степени соответственно, X — постоянная.

Решения отого уравнения называются функциями гипергеометрического типа.

Самосопряженный вид: (ару'У + Ьру •= О, где функция p(z) удовлетворяет уравнению

Линейной заменой независимой переменной уравнения гипергеометрического типа можно, как правило, привести к следующим каноническим видим.

1) Гипергеометрическое уравнение:

2) Вырожденное гипергеометрическое уравнение'.

3) Уравнение Эрмита'.

Производные tfn(z) = yln)(z) являются функциями гипергеометрического типа и удовлетворяют уравнению о (z) v"n + ти (z) v'n + tinvn =.

Вдесь Cv — нормировочная постоянная, функция р(г) удовлетворяет уравнению [o(z)p(z)]= т(г)р(г), постоянная v — корень уравнения X -f- vt' -fv (v — 1) v+1- — "

Дифференциальное уравнение: (1 - г2)/' - 2ху' + п(п + 1)у = 0, у = Р„ (х).

Дифференциальное уравнении

Классическими ортогональными полиномами дискретной переменной называются полиномы уп(х), удовлетворяющие разностному уравнению а(х)&Чу + т;(х)Ьу + Ку =0, для которых функция р(х), являющаяся решением разностного уравнена» удовлетворяет условию а(х) р(г)г*|х_.

Уравнение Бесселя'.

Уравнение Ломмеля:

Заметим, что уравнения, определяющие коэффициенты Aid), линейны и однородны относительно неизвестных коэффициентов и не зависят от способа выбора контура С для функций yv(z).

Дифференциальное уравнение: zV + zu'— (z2 + v2)u = 0, u(i) = Z»(iz).

Линейно независимыми решениями этого дифференциального уравнения при г > 0 являются функции

Дифференциальное уравнение:

Дифференциальное уравнение: zy"+ (Т — z)!

Дифференциальное уравнение'.

Уравнения математической физики.

I рассмотрен метод построения интегральных представлений для частных решений обобщенного уравнения гипергеометрического типа и указаны способы изучения различных свойств этих решений.

Уравнения математической физики.

Дифференциальные уравнения.

В § 2 были введены полиномы гипергеометрического типа УпЫ, являющиеся решениями уравнения a(z)y" + i(z)y' + Ку — О (1) при h = Кп = — ят'---------g-----ст"- Явные выражения для этих полиномов даются формулой Родрига

Вп п ,(п) где В„ — нормировочная постоянная, а функция p(z) удовлетворяет дифференциальному уравнению [o(z)p(z)]'-=t(z)p(z).

Решая это уравнение, получим в зависимости от степени полинома o(z) следующие возможные виды функции p(z) (с точностью до постоянного множителя): ' - zf (z - а)е, а (z) = (Ъ - z) (z - а), : — а)аер1, а (z) = z — а, p(z) = ,а*2+рг где а, Ъ, a, {1 — некоторые постоянные (вообще говоря, комплексные).

При такой замене уравнения (1) и (3) перейдут в уравнения то-го же вида, а соответствующие полиномы гипергеометрическогр типа i/n(z) останутся полиномами относительно новой переменной и будут по-прежнему определяться формулой Родрига.

Бесселя дифференциальное уравнение 161 — неравенство 58 — функции 101, 163 ------- второго рода 175 — —, интегральное представление Зоммерфельда 171 — —, — — Пуассона 165 — — модифицированные (мнимого аргумента) 179 — — — мерного рода 179 — — полуцелого порядка 170 — •—, теоремы сложения Графа и Гегснбауяри 182, 183

Гипоргеометрнческоо дифференциальное уравнение 205 -------— вырожденное 205 — — —, фундаментальная система решений 213

Дирака уравнение для кулоповского ноля 271 Дуальные полиномы Хана 117, 152

Квазиклассическое приближение 189 Классические ортогональные полиномы 37 — — — дискретной переменной 107 — — —, дифференциальное уравнение 29 — — —, классификация 30, 31 -----------, формула Родрига 29 — •— —, функции второго рода 93 Кравчука полиномы 114 Кристоффеля числа 292

Лагерра полиномы 30 — —, дифференциальное уравнение 230 — —, функции второго рода 96 Лапгсра формулы 200 Лежандра полиномы 30 — присоединение функции 79 -----------, дифференциальное уравнение 77

Обобщенное уравнение гипергеометрического типа 13

Гегенбауэра полиномы Уравнение гипергеометрического типа 12 — — —, канонический вид 204, 205 -----------, самосопряженный вид 17 — Клейна — Гордона для кулонов-ского поля 268

Шредингера уравнение для гармопического осциллятора 72 -------— кулоновского поля 2R2— — — центрально-симметричного поля 262

функции второго рода 95 — функции 214 — —, дифференциальное уравнение 205

Как было показано в § 1, при o(z) = (г — а)2 замена * = l/(z — а) переводит обобщенное уравнение гипергеометрическою тина „.

T"(Z) / a(z) и" -4- — Г\ " + ~5 - и = О Г О- (z) ^ о-^ (2) в уравнение того же типа, для которого o(s) = s.

В частности, уравнение о (г) »* + т (*)/ + *.

Как показано в § 1, ото уравнение заменой у =

') =т(а)+т7*| и в результате приходим к следующему уравнению для функции u(s): +т' + 2(n — l)]u' + пт(а)и = 0.

Дифференциальное уравнение для специальных функций.

Если — l=SzsSl, то разложение (16) сходится при UI < 1, так как особые точки производящей функции, являющиеся корнями уравнения 1 — 2t г + t2 = 0, определяются формулой tt,t =• •=• е±щ (cos ф -=• z) и лежат на окружности \t\ = 1.

Для этого воспользуемся дифференциальным уравнением для J/n (^)г

Если уравнение (19) умножить на Уп (х) п проинтегрировать на интервале (а, Ь), то с помощью интегрирования но частям получим




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru