НЕФТЬ-ГАЗ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА
На главную >>


Теперь на нашем сайте можно за 5 минут создать свежий реферат или доклад

Скачать книгу целиком можно на сайте: www.nglib.ru.

Предложения в тексте с термином "Карт"

Пусть у: V-+R" — локальная_ карта возле f(p).

Действительно, достаточно в приведенном выше доказательстве взять такую локальную карту (у, V) класса Сг, чтобы у (S) было С"- подмногообразием в R", и затем аппроксимировать g отображением g, для которого yog — класса С°° на Up.

Покажем, что существует Сгх) При проверке гладкости X в рдг удобно использовать карту, получающуюся при тереографической проекции с центром проектирования ps к плоскостью проекции, касающейся 5а в pfj,—Прим, перев.

Используйте локальные карты ф?

l/0 cr Rra — локальная карта возле р с х (р) = 0.

Пусть х: U— *RCT — локальная карта с х (ри)= 0.

Пусть VjcUj—окрестность точки pt и х/: у^ _> В (3)cRm — локальная карта с л/(р/) = 0, где В(3) есть шар радиуса 3 с центром в нуле.

Пусть к1» (X) обозначает выражение векторного поля X в локальной карте к1; иными словами, х(Х (q) = Dxf ((х?

Поскольку проблема локальная, можно предполагать, используя локальную карту, что /: Rra — »-IRra — диффеоморфизм с гиперболической неподвижной точкой 0.

следует, что если (к, U)—локальная карта возле р, то существуют такие окрестности А точки р в R*, V точки х(р) и W начала координат в Rk~m и такой диффеоморфизм hi A—+VX.

1 карта—это ограничение С"-отображени я открытого подмножества R* в Rm (рис.

Пусть xi U—>Rm и yi V—>-Rm—локальные карты в М.

существуют такие локальные карты х: U—>-Rm возле р и у\ V —«-R" возле f(p), что f(U)cV и у о fo xrl\ x(U)—>.

Поскольку замена координат принадлежит классу С°°, это определение не зависит от выбора карт.

Рассмотрим локальную карту х: U—+R"1, х(р) = 0.

Можно предполагать, используя локальную карту, что X—векторное поле, заданное в окрестности V нуля в Rm — EsQ)Ea, и 0—гиперболическая особая точка.

Тогда существует такая выпрямляющая карта (F, /) для X, что F Z3 у.

Пусть (F0, /о) — такая выпрямляющая карта возле точки а(0), как в замечании к теореме 1.

Ясно, что (F, f) — выпрямляющая карта, содержащая у.

Пусть (FIf /j) — выпрямляющая карта, содержащая р, a (F§, /У — такая длинная выпрямляющая карта, что у cr Fj U F|, как показано на рис.

х) Хотя формально {± 1}Х/га~1 находится вне области определения можно без ограничения общности считать, что (Fz, fz) — часть чуть большей выпрямляющей карты; тогда ясно, что следует понимать под этими прообразами.

15 получается из теоремы Сарда с использованием локальных карт и того факта, что каждое открытое покрытие многообразия допускает счетное подпокрытие.

Пусть (F, f)—такая выпрямляющая карта с центром р, что /r(F) = [—Ь, fcjx/"1-1, Г1(\Ь\х1т-1) = '2 f]F, a /»Х является единичным векторным полем С на [—Ь, Ь] х 1т~\ Пусть С—такое определенное на f(F)cRm векторное поле класса С", что С трансверсально к {—Ь}-х!

Пусть х: U —>-IRw—локальная карта для М.

Легко видеть, что (Тх, я"1 (С/)) — локальная карта для ТМ и, следовательно, TMcK.

Можно считать, что малая окрестность WerV точки /~i(6, 0) на 2 и дуга траектории у от /~1(6, 0) до /:~1( — &, 0) лежат в области определения другой выпрямляющей карты (^'» /')> причем (так что У ] F' = X \ F'), и можно определить отображение Я1 U — */-1({ — b}x/ra-1), сопоставляющее точке w?

U получается, что в локальной карте/]2 отображение Ру выражается формулой

kx№ — многообразие Заметим, что выражение для л в терминах локальных карт (Тх, п~г(1/)) — это просто естественная проекция D^xR"2 на первый сомножитель; таким образом, п — отображение класса С°°.

Пусть (F, /)—такая выпрямляющая карта с центром в некоторой точке траектории у, что /»Х—единичное поле С на [—Ъ, Ъ\х1т~*.

В локальной карте /12 отображение последования выражается формулой х(Ь,у), если |у|<т

Нельзя провести аналогичные доказательства, если X класса Сг, потому что в этом случае выпрямляющая карта (F, /) класса Сг, а векторное поле (f1), С только Сг~1.

Если (х, U) и (у, V) — локальные карты в М с Uf]V^?

Гладким многообразием класса Сг, r^l, называется топологическое пространство, снабженное таким семейством локальных карт, что а) параметризованные окрестности покрывают М и б) замены координат являются Сг-диффеоморфизмами.

Такое семейство локальных карт называется Сг-атласом для М.

Используя локальные карты, мы можем определить диффе-ренцируемость отображений между такими многообразиями аналогично тому, как мы делали это раньше.

В частности, кривая а: (-—в, в) —* М дифференцируема, если отображение хоа: (—е, е) —i-IR™ дифференцируемо, где (х, U)—локальная карта с а(—е,?

Это определение не зависит от локальной карты (я, С/).

К, то существуют такая выпрямляющая карта (Fx, f% x), содержащая х, и такое положительное число ьх> что /л, *(F*) => [— &*• fcJx/'*-1 и векторное поле (/х> х^Х совпадает с единичным векторным полем на [ — bx, Ьх\у.

Через (Fk, /^ k) будем обозначать соответствующие выпрямляющие карты.

,/ существует такая выпрямляющая карта (Fy- k, f Yi k) для У, что Fy> ft =3 Ak, /K, ft (FKj fe) r> [— bft, bft]x /m"1 и внутренность множества /^ *([ — bk, bftJx/if/Г1) содержит замыкание множества Лй3).

, s,— такие локальные карты на М, что \Jsl=lUt = M.

Мы утверждаем, что набор карт \(xt Dfi, (у, Vt); i = l,.

Таким образом, если х: U —*Uvc:Rm—локальная карта, то Y = xsX является Сг-векторным полем в U0\ будем говорить, что Y—это выражение поля X в локальной карте (я, U).

/„— > К2 — локальная карта, у которой обратное отображение задается формулой Ф~М*1» x2) = n(x1vs-{-xzvu), где Vs и va — единичные собственные векторы оператора L.

Идея доказательства состоит в том, что при достаточной малости %' для любого Y ^'U' ПЭГ" (Ж) найдется выпрямляющая карта (FY, /и), в понятном смысле близкая к (F, /), причем /у|{Ь}х/т~1 можно считать одним и тем же для всех Y.

такое разбиение М" на линейно связные подмножества, именуемые слоями, что М" можно покрыть «выпрямляющими картами»—координатными окрестностями Ua с локальными координатами хга,.

268 ПРИМЕЧАНИЯ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА дует предупредить, что (в отличие от этого примера) для других слоений, возникающих в теории динамических систем, может не существовать гладких выпрямляющих карт (хотя сама система гладкая).

, Vk, что каждое V{ содержится в области определения некоторой карты (х(,?

122, 248 вращения число 249, 255, 274 выпрямляющая карта 126 гиперболическая замкнутая траектория 130 — неподвижная точка 83 — особая точка 47, 81 — периодическая точка 123 гиперболический линейный изоморфизм 68 гиперболическое линейное векторное поле 66 — множество 219 глобальное трансверсальное сечение глобальный поток 23 гомоклииическая точка, траектория

, k,—такие локальные карты, что хг (Ut) = В (2) и М = U Vt, где V, = дсг1 (б (1 ))• Возьмем разбиение единицы {ф,: М —»• R}, подчиненное покрытию {V^[.

, k, — такие, как и раньше, локальные карты в М.




Главный редактор проекта: Мавлютов Р.Р.
oglib@mail.ru